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1、g3.1031数列与函数的极限（2）一、知识回顾1、函数的极限1）当x→∞时函数f(x)的极限:；；当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题令，分别求2）当x→x0时函数f(x)的极限:；；如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时
2、，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。注：1与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。4）函数极限的运算法则：若，，那么；；；；。注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。7用心爱心专心5）两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则：2、函数的连续性(1)函数连续性的概念:①如果函数f(x)在x=
3、x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:①若f(x
4、)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。(3)初等函数的连续性:①基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。（3）图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在7用心爱心专心图丙表示
5、的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、基本训练1、是函数在点xo处存在极限的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2、m<0,n>0时，的值是（）（A）（B）0（C）1（D）3、（）（A）0（B）（C）－（D）不存在4、的值为（）（A）1（B）0（C）－1（D）±15、f(x)=下面结论正确的是（）（A）（B）2，不存在（C）0，不存在（D）≠6.（05江西
6、卷）8．A．－1B．1C．－D．7.(05辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件8.（1）指出下列函数的不连续点：7用心爱心专心①；②；③（2）已知，确定常数a，使存在。三、例题分析例1：判断下列函数的极限是否存在：（1）（2）（3）（4），例2：设，问a，b为何值时，存在。例3：求下列各极限(1)()；(2)()(3)；(4)(5)例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。例5：已知求例6：为多项式，且，求。7用心爱心专心答案：基本训练1—7、CBBCBCB例1（1）不存在，（2）不存在，（3
7、）存在，（4）不存在，例2、当b=2，a为任何实数时，存在。例3.(1)(2)(3)不存在(4)（5）时，不存在。例4解：设，则在R上连续，又，因此在[－3，0]内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。例5.，例6.。四、作业g3.1031数列与函数的极限（2）1．的值为（）A．不存在B.2C.0D.12．（）A．0B.C.1D.3．若，则ab的值是（）A．4B.8C.8D.164．下列各式不正确的是（）A．B．C．D．
