高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代.doc

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1、江苏省泰州中学高一数学竞赛讲稿函数方程高一数学备课组函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中为未知函数）.如果一个函数对其定义域变量的一切值均满足所给的方程，则称为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函

2、数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类：1.换元法：2.解方程（组）法3.待定系数法4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：

3、若是单调（或连续）函数，且满足则（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设是定义在上的函数，如果存在递推关系和初始条件当知道的值后，由可以惟一确定的值，我们称为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数的定义域为D，若存在，使成立，则称为的不动点，或称为函数图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知求〖分析〗令则再令则因此可以将所得三个等式看成是关于的三个方程，便可解得解：设则代入原

4、式，得即设则代入原式，得即将与原方程联立，解得11江苏省泰州中学高一数学竞赛讲稿函数方程高一数学备课组〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于的方程组，消去从而求得【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足条件：(1)对所有非零实数x，f(x)=xf()；（2）对所有的x≠－y的非零实数对(x,y)，有f(x)+f(y)=1+f(x+y)2.证明：f(x)=x+1显然适合（1）、（2）。下证惟一性。即设f(x)满足（

5、1）、（2），那么f(x)=x+1在（2）中，令y=1，得　　　　f(x)+f(1)=1+f(x+1)(x≠－1,x≠０)　　　①在（2）中，以－x代换x，以x+1代换y，得f(－x)+f(x+1)=1+f(1)(x≠－1,x≠０)②综合①、②，得f(x)+f(－x)=2(x≠－1,x≠０)③③在x=1时成立，所以在x=－1时也成立，由（1）及③，当x≠０时，所以f(x)－f(－x)＝2x④从③、④中消去f(－x)，得f(x)=x+1另解：由①、③可得f(－x)=－xf()　　　　⑤f()+f()=2　　　　　　⑥由①、③、⑤、⑥联立方程组

6、可得【例3】求所有的函数f：R→R，使得对任意实数x、y，都有(x－y)f(x＋y)－(x＋y)f(x－y)=4xy(x2－y2)3.解：令x=y≠0，得f(0)=0设u=x+y，v=x-y，那么u+v=2x，u-v=2y，于是①式成为若uv≠0，则上式为即对任意非零实数u、v，有所以为一常数，x≠０于是对x∈R，所求的函数为其中c为某一常数。经检验，（c是常数）是欲求的函数。【例4】求所有的函数f：R→R使得f(f(x)＋y)=f(x2－y)＋4f(x)y①对所有x，y∈R成立。4.解：易见f(x)≡0或f(x)=x2皆为上述方程①的解。

7、我们来证明它们是惟一的解。设对某个a，f(a)≠a2在①中令，得f(x)·(x2-f(x))=0由于f(a)≠a2，故只能f(a)=0，并且可见a≠0[否则a2=0=f(a)与a的定义相违]。于是我们得到，对任何x，要么f(x)=0，要么f(x)=x2在②中令x=0，有f(0)=0在①中令x=0，有f(y)=f(－y)在①中令x=a，并用－y替换y，得f(a2+y)=f(－y)=f(y)从上式可见f以a2为周期，进而我们有f(f(x))=f(f(x)+a2)=f(x2－a2)+4f(x)a2在①中令y=0，有f(f(x))=f(x2)利用f

8、(x)的周期性，得f(x)·a2=011江苏省泰州中学高一数学竞赛讲稿函数方程高一数学备课组所以f(x)=0(因为a≠0)也就是说，若f(x)≠x2，则必有f(x)≡0成立，因此