3、)共线（如图）.由△ABE∽△BCF，得=.∴=.∴1=.得m=0，即ap+q=0.∴应选B.［说明］ 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式an=am+(n-m)d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用1 已知｛an｝为等差数列，a15=8,a60=20,求a75.［解析］ 解法一：∵a15=a1+14d,a6
4、0=a1+59d,a1+14d=8∴，a1+59d=20a1=解得d=∴a75=a1+74d=+74×＝24.解法二：∵a60=a15+45d,∴45d=a60-a15=20-8=12,∴d=.∴a75=a60+15d=20+15×＝24.命题方向 运用等差数列性质am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q)解题［例2］ 在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.［分析］ 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求
5、解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了.［解析］ ∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21,又∵a2+a8=a3+a7=2a5，∴a3+a7=2a5=6，即a5=3. ①∴a3·a7=-7， ②由①、②解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1,∴a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.［说明］ 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果.变式应用2
6、 在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为（ ）A.20 B.30 C.40 D.50［答案］ C［解析］ ∵a3+a5+a7+a9+a11=100,又∵a3+a11=a5+a9=2a7,∴5a7=100,∴a7=20,∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=3a7+6d-a7-6d=2a7=40.探索延拓创新命题方向 等差数列性质的应用［例3］ 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.［分析
7、］ 此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为方便，但必须注意这时的公差应为2d.［解析］ 解法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,∴a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又知四个数成递增等差数列，∴d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3
8、d(公差为d)，依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,∴d=2或-2.又知四个数成递增等差数列，∴d>0,∴d=2,a=-2.故所求的四个数为-2，0
