高中数学 2.5等比数列前n项和特色训练 新人教A版必修.doc

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1、2.5　等比数列前n项和特色训练(一)一、等比数列前n项和的计算例1　在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.分析　要求an，需求首项a1，公比q，由条件可列出关于a1和q的两个方程，解方程组即可．解：►变式训练1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.解：二、利用等比数列前n项和的性质解题例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.分析　可用等比数列前n项和公式求解，也可用等比数列的性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列求解．解：►变式训练2　等比数列的前n项和为Sn，若S10＝

2、10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．解：三、错位相减法的应用例3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．分析　分x＝1和x≠1两种情况．解：►变式训练3　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．解2.5　等比数列前n项和特色训练(二)一、等比数列前n项和的证明问题例1　设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：>log0.5Sn＋1.证明：►变式训练1　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．证明二、等比数列前n项和的实际应用例

3、2　为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解：►变式训练2　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解三、等差数列、等比数列的综合问题例3　设{an}是等差

4、数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.解►变式训练3　在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．2.5　等比数列前n项和特色训练(一)参考答案例1　解　由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，即②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.可求得a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2.►变式训练1解　∵a3·an－2＝a1·

5、an，∴a1an＝128，解方程组得①或②将①代入Sn＝，可得q＝，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.例2　解　方法一　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③将③代入①得＝64，所以S3n＝＝64×＝63.方法二　因为{an}为等比数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63.►变式训练2　等比数列的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，S60＝630

6、，求S70的值．解　设b1＝S10，b2＝S20－S10，…，则b7＝S70－S60.因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S70－S60成等比数列，所以b1，b2，…，b7成等比数列，首项为b1＝10，公比为q＝＝＝2.求得b7＝10·26＝640.由S70－S60＝640，得S70＝1270.例3　解　(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.∴Sn＝－.综上可得S

7、n＝.►变式训练3　解　(1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝＝n2.(3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋，又1－a≠0，∴Sn＝＋.综上，Sn＝.§2.5　等比数列前n项和特色