高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、高中数学3.1.1两角和与差的余弦互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.两角差的余弦公式把cos（α-β）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究，如下图，设α,β的终边分别与单位圆交于点P1（cosα,sinα）,P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况.设向量a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),则a·b=

2、a

3、

4、b

5、·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α-

6、β)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是，对于任意的α、β,都有上述式子成立.2.两角和的余弦公式比较cos（α-β）与cos（α+β）,并且注意到α+β与α-β之间的关系：α+β=α-(-β),则由两角差的公式得：cos（α+β）=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosα·cosβ-sinαsinβ，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的α、β都是任意角.（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.（3

7、）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧.如2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用【例1】利用公式Cα-β,Cα+β证明下列等式.(1)cos(π-α)=-cosx;(2)cos(-α)=-sinα.解析:（1）cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.(2)cos(-α)=coscosα+sin·sinα=0·cosα-sinα=-sinα.【例2】已知sinα=,cosβ=,α、β均为第二象限角，求cos（α-β）,cos(α+β).解析:由sinα

8、=,α为第二象限角,∴cosα=.又由cosβ=-,β为第二象限角,∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(-)×()+×=.【例3】已知＜β＜α＜,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2α与cos2β.解析：∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜,π＜α+β＜,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=,∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-×+()×=-.cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+

9、sin(α+β)sin(α-β)=.