高中数学 4.2圆周率导学案 北师大版选修.doc

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1、圆周率我国魏晋时期数学家刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值，创造了“割圆术”，为圆周率的研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法．在此基础上，南北朝数学家祖冲之继续推算，最后得到圆周率π的值就在3.1415926与3.1415927之间，准确到小数点后7位，成为世界上第一位把圆周率值计算准确至七位小数的人．此外，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值：准确度较低的(约率)，准确度较高的(密率)．然而，究竟祖冲之是用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数，而他又是怎样找出作为圆周率的近似分数的呢？这些问

2、题至今仍是数学史上的谜．据数学史家们分析，他很可能采用了刘徽的“割圆术”，如果这个分析不错的话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形分割到圆内接正12288边形和圆内接正24576边形，依次求出各多边形的周长．这个计算量是相当大的，至少要对九位数字反复进行130次以上各种运算，其中乘方和开方就有近50次，任何一点微小的失误，都会导致推算失败．由此可见祖冲之深厚扎实的数学功底，严谨求实的科学态度．祖冲之求得的这个圆周率值直到一千年以后才由阿拉伯数学家卡西于1427年打破．1．圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物

3、理学普遍存在的数学常数．它定义为圆的________与________的比值．圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值．2．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：________＜π＜________，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为________，密率为________．3．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近．从他编写的《圆的度量》一书

4、中，他用穷竭法得出圆周率介乎________与________之间．4．计算圆周率，无论是阿基米德的穷竭法，还是刘徽的割圆术，都是逐步逼近的方法，都是________思想的体现，这种思想为微积分的最终创立奠定了基础．答案：1．周长　直径2．3.1415926　3.1415927　　3．3　34．极限一、π的计算及历史【例1】查找资料，简述π的计算历史，体会它们所反映的数学思想．答：π的计算历史分为以下几个阶段：(1)实验时期中国古籍云：“周三径一”，意即取π＝3.公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》(又称“

5、阿梅斯草片文书”；为英国人莱茵德于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书”)是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为或3.160.至阿基米德之前，π值之测定倚靠实物测量．(2)几何法时期——反复割圆最早试图从圆面积去求圆周率的人是阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)．他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．随正多边形之间边数的不断增加，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近．从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介于3与3之间．公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计

6、算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割为正12,24,48,96,192边形．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”(分割愈精细，误差愈小．分割之后再分割，直到不能再分割为止，它就会与圆周完全重叠，就不会有误差了)其中有求极限的思想．刘徽给出π＝3.141024的圆周率近似值，并以＝3.14(徽率)为其分数近似值．公元466年，中国数学家祖冲之将圆周率算到小数点后7位的精确度，这一纪录在世界上保持了一千年之久．同时，祖冲之给出了(密率)这个很好的分数近似值，它是分母小于

7、10000的简单分数中最接近π的．为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”．可惜祖冲之的著作《缀术》已经亡失，后人无从得知祖冲之是如何估算圆周率的值的．1610年，荷兰数学家鲁道尔夫计算了正262边形的面积，正确地得出了π的35位小数．后人为了纪念他的奋斗精神和他为计算π的值所作的贡献，在他的墓碑上刻上了以下结果：＜π＜(3)分析法时期——无穷级数无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加.1706年英国数学家梅钦计

8、算π值突破100位小数大关.1873年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的．到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录．(4)计算机时代电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展.1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值，一下子就算到2037位