高中数学2.3幂函数学案 新人教A版必修 .doc

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1、2．3　幂函数[学习目标]　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．[知识链接]函数y＝x，y＝x2，y＝(x≠0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性y＝xRR增奇y＝x2R[0，＋∞)在(－∞，0]上减偶在[0，＋∞)上增y＝{x

2、x≠0}{y

3、y≠0}在(－∞，0)上减奇在(0，＋∞)上减[预习导引]1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝

4、x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

5、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)增增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减x∈(－∞，0]减定点(1,1)要点一　幂函数的概念例1　函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)

6、的解析式为f(x)＝x3.规律方法　1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．2．幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．跟踪演练1　已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.答案　10解析　由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10.要点二　幂函数的图象例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝

7、xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－答案　B解析　考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看

8、n

9、的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，

10、n

11、越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.规律方法　幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图

12、象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．跟踪演练2　如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1答案　B解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，

13、n＜－1.要点三　比较幂的大小例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)－1与－1；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.解　(1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且＞，∴＞.(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，∴－1＞－1.(3)0.25＝＝2，6.25＝2.5∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，∴2＜2.5，即0.25＜6.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.规律方法　1.比较幂值的大小，

14、关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．跟踪演练3　比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；(3)与.解　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，∴0.5＞0.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y＝x是减函数，∴＜.y＝x是[0，＋∞)上的增函数，∴＞.∴＞.1．下列函数是幂函数的是(　　)A．y＝5xB．y

15、＝x5C．