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《数理方法第二版前三章习题-谷超豪.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章波动方程第一章波动方程1.1学习要求(1)理解弦振动方程的物理意义，定解条件的物理意义.(2)理解波的左右传播,理解依赖区间,决定区域和影响区域的概念,掌握齐次化原理.(3)理解波动方程分离变量法解的物理意义,掌握非齐次边界条件的齐次化方法.(4)理解膜振动方程的物理意义，掌握球平均法和降维法.(5)熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程,会应用这两种方法求解定解问题.(6)熟练和非齐次边界条件的齐次化方法.1.2习题选讲x1.方程的导出、定解条件1.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x;t)表示静止时在x处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服
2、从胡克定律,试证明u(x;t)满足方程µ¶µ¶@@u@@u½(x)=E;@t@t@x@x其中½为杆的密度,E为杨氏模量.@u证明:如图建立坐标系,选取杆上一段微元(x;x+¢x),则微元两端的相对伸长分别为(x;t)@x@u@u和(x+¢x;t).假设杆的横截面面积为S,则微元两端所受拉力分别为E(x)(x;t)S(x)@x@x@u@u和E(x+¢x)(x+¢x;t)S(x+¢x).因此所受合力为E(x+¢x)(x+¢x;t)S(x+¢x)¡@x@x@uE(x)(x;t)S(x),且正向与坐标轴相同.@x图图图1-1图示@2u设x¹为微元重心,则重心处加速度为(¹x;t),由牛顿第二定律得,@
3、t2@2u@u@u½(¹x)S(¹x)¢x(¹x;t)=E(x+¢x)S(x+¢x)(x+¢x;t)¡E(x)S(x)(x;t)@t2@x@xµ¶@¤¤@u¤=E(x)S(x)(x;t)¢x@x@x-1-1.2习题选讲其中x¤2(x;x+¢x).约去¢x并令¢x!0,即得µ¶µ¶@@u@@u½(x)S(x)=E(x)S(x)@t@t@x@x当S(x)为常数时，即为µ¶µ¶@@u@@u½(x)=E;@t@t@x@x2.在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:设杆的两个端点坐标分别为0和l.(1)端点固定：此时两个
4、端点无位移,即u(0;t)=u(l;t)=0;@u(2)端点自由：此时两个端点无约束,根据上题,拉力E(x)(x;t)S=0,即@x@u@u(0;t)=(l;t)=0;@x@x(3)端点固定在弹性支承上：此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例.若支承的弹性系数为k@u,则支承对杆的左端点x=0处的作用力为E(0)(0;t)S,且其正向与x轴方向相反,因此有@x@uE(0)(0;t)S=ku(0;t);@x或写为µ¶¯@u¯¡+¾u¯¯=0;@xx=0其中¾=k/ES.类似的,对x=l端,有µ¶¯@u¯¡+¾u¯¯=0:@xx=l3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为µ³´2¶³´22@x@ux@u
5、E1¡=½1¡;@xh@xh@t2其中h为圆锥的高.³x´2证明:此时S(x)=S01¡,其中S0为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.h图图图1-2图示4.绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.-2-第一章波动方程解:根据弦的微小横振动方程,有µ¶@2u@@u½=T(x)@t2@x@x其中T(x)为弦的内部张力.在本题中,T(x)=½g(l¡x),故有µ¶@2u@@u=g(l¡x):@t2@x@x5.一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的
6、定解问题.@u解:此时所受外力为阻力F(x)=k,因而有@t@2u@2u@uT¡½=¡k@t2@x2@t假设固定端为x=0,有u(0;t)=0;µ¶¯@u¯对于弹性支承端x=l,有+¾u¯¯=0.@xx=l6.若F(»),G(»)均为其变元的二次连续可导函数,验证F(x¡at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11).解:参见第二节.1@2u@2u@2u7.验证u(x;y;t)=p在锥t2¡x2¡y2>0中满足波动方程=+.t2¡x2¡y2@t2@x2@y2解:显然,@ut@2u3t2¡222¢¡3=2=¡;=¡t¡x¡y@t(t2¡x2¡y2)3=2@t2(t2¡x2¡y2)5=2类似的
7、,@2u3x2¡222¢¡3=2=+t¡x¡y;@x2(t2¡x2¡y2)5=2@2u3y2¡222¢¡3=2=+t¡x¡y;@y2(t2¡x2¡y2)5=2代入即得所证.x2.达朗贝尔公式、波的传播1.证明方程µ³´¶³´@x2@u1x2@2u1¡=1¡;@xh@xa2h@t2的通解可以写成F(x¡at)+G(x+at)u(x;t)=h¡x其中h>0为常数,F,G为任意的具有二阶连续导数的单变量
