实变函数习 题 1.pdf

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1、习题11.证明以下各式:(1)AÈ=È-BABA().nmnm(2)ABij-=()Ai-Bj.iji===111j=1æöç÷(3)ABÇ=Ççç÷÷÷()AB.èøÎÎΛΛ(4)EAE-=-()A.ÎÎΛΛ(5)EAE-=-()A.ÎÎΛΛn-12.设{An}是一列集.令B11=A,BAAnnn=-i(2³).证明i=1nn¥¥ABABiiii==,.iiii====1111n3.设{f}是R上的一列实值函数.试用形如{:()xfxk>}的集表示集nn{:lim()xfx=+¥}nn¥nn4.设{f}是R上的一列实值函数,并且li

2、mf()xf=()x()xÎR.证明对任意nnn¥实数c,成立¥¥¥1{:()}xfxc£={xfxc:()n<+}.kkmnm===115.证明可列集的有限子集的全体是可列集.6.设f(x)是]1,0[上的实值函数,并且存在M,0使得对]1,0[中的任意有限个数x,,,x均有1nf()xf++()x£M.1n证明A{x:]1,0[f(x)}0是可数集.7.设A是无限集,B是可列集.证明若存在一个A到B的单射,则A是可列集.8.设A是直线上以有理数为端点的开区间所成的集.证明A是可列集.19.设AÌR.证明:若对任意xA,存在,0使得AxxÇ-+(,)是可数集

3、,则A是可数集.210.设A是R的子集,A中的任意两点的距离都是有理数.证明A是可数集.11.作出下面的集与集之间的一一对应的映射(1)实数集到无理数集.(2)平面上的开单位圆盘U(0,1)到闭单位圆盘S(0,1).12.证明[0,1][0,1]´[0,1].1cc113.证明定义在R上的实值函数的全体所成之集具有基数2(其中2表示R的幂集1P()R的基数).14.证明:若F是代数并且对不相交可列并运算封闭,则F是-代数.C15.设X是一无限集.证明F=Ì{:AXA或A是可数集}是-代数.16.设A是X的一个非空真子集.求σ({}).An17.设f(x)是R上的实值函数.证明若对任意

4、常数c,{:()}xfxc<和n{:()}xfxc>都是开集,则fCÎ()R.ìüïïïï1118.设An=++íý:,,npqÎN.求AAA¢¢,,.¢¢¢¢ïïïïîþpqn19.设AB,.ÌR证明()ABABABABÈ=È¢¢¢,È=È.n20.设AÌR.证明A是闭集.n21.设AÌR.证明:A是包含在A中的最大开集,A是包含A的最小闭集.nn22.设AÌR,xÎR.证明:n(1)函数f(x)d(x,A)是R上的连续函数.(2)若A是闭集,xA.则d(x,A).0n(3)若A是有界闭集,则对任意xÎR,存在yÎA使得dxy(,)=dxA(,).00pqpq23.设A和B分别

5、是R和R中的闭集,证明AB´是RR´中的闭集.24.设f()x是[,]ab上的非负连续函数.证明f的下方图形Ex=£{}(,):yaxbyf£,0££()x2是R中的闭集.n25.设AÌR.证明若A¢是可数集,则A是可数集.26.证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集.n27.证明R中的每个闭集是G型集,每个开集是F型集.δ128.设f()x是R上的实值函数.证明f()x的连续点的全体是G型集.nn29.设C是R中半开方体的全体,证明()CB=().R