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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就[0,1上]的Dirich函le数D(x)和Riemann函数R(x)计算D(x)dx和R(x)dx[0,1][0,1]1xQ1解:回忆D(x)即D(x)(x)(Q为R上全体有理数1Q0xRQ之集合)n回忆:E(x)可测E为可测集和P129定理2:若E是R中测度有_限的可测集,f(x)是E上的非负有界函数,则f(x)dxf(x)dxf(x)EE为E上的可测函数*显然,Q可数，则mQ0，Q可测，(
2、x)可测，有界,从而Lebesgue可Q积由P134Th4(2)知Q(x)dxQ(x)dxQ(x)dx1dx0dx[0,1][0,1]Q[0,1]Qc[0,1]Q[0,1]Qcc1m([0,1]Q)0m([0,1]Q)100101回忆Riemann函数R(x):R:[0,1]R1nx,m和n无大于1的公因子nmR(x)1x00x[0,1]Q在数学分析中我们知道,R(x)在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann可积,R(x)0a.e于[0,1]上,故R(x)可1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新
3、资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯测(P104定理3),且R(x)dxR(x)dxR(x)dx[0,1][0,1]QQ而*0R(x)dx1dxmQ0(Q可数,故mQ0)故QQR(x)dxR(x)dx0dx0[0,1][0,1]Q[0,1]Q2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE,f(x),g(x)都是E上的非负有界函数,则f(x)dxf(x)dxg(x)dxEEE下面证明之:0,有下积分的定义,有E的两个划分D1和D2使sD(f)f(x)dx,sD(g)g(x)dx12E2E2此处sD1(f),sD2(g)分
4、别是f关于D1和g关于D2的小和数,合并D1,D2而成E的一个更细密的划分D,则当sD(fg)为f(x)g(x)关于D的小和数时(f(x)g(x))dxsD(fg)sDfsDgsDfsDg12f(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)dx(用到下确界的性22EEEE质和P125引理1)由的任意性,令0,而得(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dxEE3.补作定理5中f(x)dx的情形的详细证明E证明:令EmEx
5、
6、
7、x
8、
9、m,当f(x)dx时,Ef(x)dxlimf(x)dxmEEmM0,存在m0m0(M)N,当mm0时,2⋯⋯
10、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2Mf(x)dxlim[f(x)]kdxkEmEm则存在k使M[f(x)]kdx[limfn(x)]kdxlim[fn(x)]kdxnnEmEmEmlim[fn(x)]kdxlimfn(x)dxlimfn(x)dxnnnEmEmE(利用[fn(x)]kdx有限时的结论,Th5中已详证)Em由M的任意性知limfn(x)dxf(x)dx证毕.nEE4.证明:若f(x)是E上的非负函数,f(x)dx0,则f(x)0a.eE1证明:令En[x
11、nf(x)
12、n1],n1,2,,Fm[x
13、f(x)1]m则E[x
14、f(x)0](En)(Fn)n1n1f可测，故En,Fm,E[x
15、f(x)0]（n1,2,;m1,2,）都是可测集，由P135Th4(2)和f(x)dx0，f(x)非负知E0f(x)dxf(x)dxf(x)dxndxnmE0nEE[x;f(x)0]EEnn故mEn0,(n1,2,)；同理mFm0,(m1,2,)故mE[x
16、f(x)0]mEnmFm0n1m1故从f(x)非负，E[x
17、f(x)0]EE[x
18、f(x)0]，知f(x)0a.e于E.证毕.5．证明：当mE时，E上的非负函数的积分
19、f(x)dx的充要条E件是kk2mE[x
20、f(x)2]k0knn1证明：令EkE[x
21、f(x)2]k,0,，1EnE[x
22、2f(x)2]，k0,1,2,3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯E[x
23、f(x)1]E,EE当ij，f非负，故从mE知nijn00f(x)dx，而f(x)dxf(x)dxf(x)dxE[x
24、f(x)1]EE[x
25、0f(x)1]E[x
26、f(x)1]f(x)dxf(x)dxEE[x
27、f(x)1]注意由单调收敛定理和f(x)0可测知f(x)dxf(x)dxf(x
28、)dxn(x)f(x)dxlimn(x)f(x)dxnnlimEiEiE[x
29、f(x)1]EnEEnlimEii0i0nn0i0nLeviThlimn(x)f(x)dxlimf(x)dxlim
