实变函数复习题.pdf

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1、1.若E有界,则m*E<正无穷2.可数点集的外测度为零3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En5.若m*E=0，则E可测。6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为07.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A交B）8.证明：

2、若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m（G-E）〈e，m（E-F）〈e9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）-->0(n-->无穷)，则E可测。10.设是一列可测集，证明和都是可测集且11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=012.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A）13.设{En}是[0，1]中可测集列

3、，若m（En）=1，n=1，2，...，则定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。次可数可加性证明卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？2.设{fn}为E上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。散点集也是可测的。3.

4、设E是[0，1]中的不可测集，令问f（x）在[0，1]上是否可测？

5、f（x）

6、是否可测？4.设fn（x）（n=1，2，...）是E上a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数f，则对任意的e>0存在常数c与可测集E0包含于E，m（EE0）

7、fn（x）

8、<=c.这里mE<无穷。6.设f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为[a，b]上的可测函数，则f（g（x））是可测函数。7.设函数列fn（x）（n=1，2，...）在有界集E上“基本上”一致收敛

9、于f（x），证明{fn}a.e.收敛于f。，叶果洛夫逆定理8.试证明鲁津定理的逆定理成立。鲁津定理9.设函数列{fn}在E上依测度收敛于f，且fn（x）<=g（x）a.e.于E，n=1，2，...。试证f（x）<=g（x）在E上几乎处处成立。10.设在E上fn（x）推出f（x），且fn（x）<=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，...，则几乎处处有fn（x）收敛于f(x)。11.设在E上fn（x）推出f（x），而fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，...，则有gn（x）推出f（x）

10、12.设mE<正无穷，证明：在E上fn（x）推出f（x）的充要条件是，对于{fn}的任何子函数列{fnk}，存在{fnk}的子函数列{fnkj}，使得a.e.于E13.设mE<无穷，几乎处处有限的可测函数列fn（x）和gn（x），分别依测度收敛于f（x）和g（x），证明叶果洛夫定理例3：设E包含于R1，f（x）是E上a.e.有限的可测函数。证明：存在定义在R1上的一列连续函数{gn}，使得极限gn（x）=f（x）a.e.与E。定理3：设fn（x）依测度收敛于f（x），fn（x）依测度收敛于g（x），

11、则f（x）=g（x）在E上几乎处处成立。设{fn（x）}是E上一列可测函数，则F（x）=也在E上可测，特别当存在时，它也在E上可测。可测函数与简单函数的关系若f（x）在E上非负可测，则存在可测简单函数列是的对任意若f（x）在E上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意若f（x）还在E上有界，则上述收敛可以是一致的。勒贝格里斯定理2.设在康托尔（Cantor）集P0上定义函数f（x）=0，而在P0的余集中长为1/3^n的构成区间上定义为n，试证f(x)可积分，并求出积分值。3.设E可测，f（x）在E上可

12、积，en=E（

13、f

14、>=n）则n*men在n的极限=06.设{fn}为E上非负可积函数列，若则f(x)依测度收敛与0.7.设mE<无穷，{fn}为a.e.有限可测函数列。证明：的充要条件是fn（x）依测度收敛与09.设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,...,En，假定[0，1]中任一点至少属于这n个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。10.设mE不等于0，f（x）在E上可积，如果对于任何有界可测函数，都有则f（x）=0a.e.于E。11.证明