知识点34 函数的零点(方程的根)存在性与唯一性的证明.pdf

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1、学科：高等数学第三章微分中值定理与导数的应用知识点34函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明相关概念、公式定理或结论●定义**●定理**●结论**考频:4知识点34配套习题例34.1(难度系数0.4)nn12证明方程xxxx10在(0,1)内必有唯一实数根x，并求limx.nnnnn12解析：构造函数f(x)xxxx1，利用零点定理证明方程f(x)0在(0,1)内至少有一实数根，再通过单调性来证明根的唯一性，最后通过数列极限来求解即可.nn12证明：设f(x)xxxx1，则f(x)为闭区间[0,1]上的连续函数.因为f(0)1

2、0，f(1)n10，所以由零点定理知，存在x(0,1)，使nf(x)0，n故方程f(x)0在(0,1)内至少有一实数根.n1n2因为f(x)nx(n1)x2x10(x0)，所以在(0,1)内f(x)严格单调增加，所以方程f(x)0在(0,1)内至多有一实数根，故方程f(x)0在(0,1)内有唯一实数根.n因为0x1，所以lim(x)0.nnnnn12设limxa，xxxx10，所以有nnnnnnn1n2x(xxx1)1，nnnnn1(x)a11n，对此式两边取极限得，即.x11alimxn

3、n1x1a2n2n巧招：证明方程的根或函数的零点的方法相对比较单纯，一般是用零点定理证明根的存在性，用单调性或罗尔定理证明根的唯一性或判断根的个数，其中若用罗尔定理证明根的唯一性要用到反证法.也有少量直接用罗尔定理证明根的存在性的题目，如例34.7，34.8，它一般是证明导函数的根的状况.在证明的过程中，有时候会夹杂着用极限的保号性、拉格朗日中值定理等，但是它们都是“佐料”，只是用它们来得到一些必要的条件而已.例34.2(难度系数0.4)设f(x)在[a,)上可导，且当xa时，f(x)k0，其中k为常数.证明如果f(a)f(a)0，则方程f(x)0在(a,a)内有

4、且仅有一个实根.kf(a)解析：应用拉格朗日中值定理可以分析出区间(a,a)右端点的符号，再k利用零点定理证明方程f(x)0在(a,b)内至少有一个实根，最后利用单调性来证明根的唯一性.f(a)证明：记ba，显然ba，由拉格朗日中值定理可知，存在(a,b)，k使f(a)f(a)f(b)f(a)f()(ba)f()kf(a)，kk所以f(b)0.又因为f(a)0，所以由零点定理可知，至少存在一点(a,b)，使f()0，即方程f(x)0在(a,b)内至少有一个实根.因为f(x)k0，所以f(x)在(a,b)内单调增加，故f(x)在(a

5、,b)内只有一个零点，f(a)即方程f(x)0在(a,a)内有且仅有一个实根.k例34.3(难度系数0.4)1设当x0时，方程kx1有且仅有一个解，试求k的取值范围.2x11解析：构造辅助函数f(x)，通过分析f(x)单调区间，据介值定理自然3xx可得可得k的取值范围.11解：将原方程变形得k，(x0).3xx211133x令f(x)，则f(x).令f(x)0得x3.3244xxxxx当x(0,3)时，f(x)0，f(x)单调增加，当x(3,)时，f(x)0，f(x)单调减小.22x1f(3)3，limf(x)lim，l

6、imf(x)0，从而若原方程有且仅9x0x0x3x2有一个实根，据介值定理得k3或k0.9例34.4(难度系数0.4)设在[1,)上，f''(x)0，f(1)2，f'(1)3，证明：方程f(x)0在(1,)内只有一个实根.解析：本题为函数f(x)零点的存在性与唯一性问题.在用零点定理时需要用拉格朗日中值定理找到一个函数值小于零的点，方法类似例34.2.证明：当x(1,)时，f''(x)0，f'(x)递减，f'(x)f'(1)30，因此f(x)单调减，因此f(x)0在(1,)内最多只有一个实数根.5又f(1)20，f(x)f(

7、1)f'()(x1)2(3)(x1)53x，取x，则355f()0，由零点定理知，f(x)0在(1,)内有一个实根.33综上所述，f(x)0在(1,)内只有一个实根.例34.5(难度系数0.4，跨知识点5)设f(x)在(,a)可导，limfx0，xf(x)lim，其中0，求证f(x)在(,a)至少有一个零点.xaxa解析：分别通过极限的保号性与微分中值