武汉大学2009数学(非数学类)竞赛复习试题及答案.pdf

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1、武汉大学2009数学（非数学类）竞赛复习试题1一、设{xn}的定义如下：x1=a，xb2=，xxxnnn=+()−−12（n=3,4,"），求limxn。2n→∞0⎛⎞1解：因为xxa10−=（设x0=0），xxba21−=−=−⎜⎟(ba−)，⎝⎠2111xx32−=()xxx212+−=−−=()(xx21−−ba)222211⎛⎞1xx43−=()xxx323+−=−−=−()xx32⎜⎟(ba−)22⎝⎠2……k−2⎛⎞1xxkk−=−1⎜⎟−()ba−（k≥2）。⎝⎠2n∞k−2⎛⎞1ba−1所以lim

2、xxnk=−lim∑∑(xk−1)=a+⎜⎟−(b−a)=+aa=()+2bnn→∞→∞kk==12⎝⎠2⎛⎞131−−⎜⎟⎝⎠2二、试解下列各题：⎡⎤11n−111、求lim1−+−−"(1)n→∞⎢⎥⎣⎦3521n−2222n−12、求lim(12++++xx3"nx)（x≤1）n→∞3、设函数f(x)在x点附近有连续导数，而α

3、解：1、利用反正切的级数展开式：21n−1135n−1xarctanxxx=−+x−−"(1)+"，（x≤1）。3521n−π11n−11π取x=1得：=−+−−1(""1)+故原式=。4352n−14∞21n−2、写在无穷级数求和的形式。即fx()=∑nx（x≤1）n=1⎛⎞∞∞∞∞nn−−11=−nn+1′′′fx()=+−⎜⎟∑∑(n1)nxnx∑∑()()xx⎝⎠nn==11nn==112″′⎛⎞xx⎛⎞211+x1+x=−⎜⎟⎜⎟=−=，故原式=3233⎝⎠11−⎝xx−⎠(1−−−xx)(1)(1x)

4、(1−x)3、由于f(x)在x点附近有连续导数，所以f(x)在[α,β]上满足拉氏定理的条件，于是在(α,β)0nnnnf(β)−f(α)nn内至少有一点ξ，使得=f′(ξ)。nnβ−αnn由题设limα=limβ=x，所以有limξ=x，nn0n0n→∞n→∞n→∞再由f′(x)在点x附近的连续性可知：limf′(ξ)=f′(x)，0n0n→∞故原极限=f′(x)。04、令f(t)=lnarctant，当x>0，f(t)在[x,x+]1上满足拉氏定理的条件，于是有：11lnarctan(x+)1−lnarcta

5、nx=⋅x<ξ

6、fx'()fx'()−f'(0)由等价无穷小得lim=⇒3lim=⇒2lim=⇒2f"(0)=lim=42xx→→00xxxx→020x→0x−211220(x)（或由泰勒公式得fx()=+→f"(0)x0(xx)(0)⇒+lim[f"(0)]=2⇒f"(0)=4）222x→0x2ϕ(y−x)y四、设F(x,y)=，F,1(y)=−y+5，x>0，x=F(x2,x)（n≥0），求limx。0n+1nnn2x2n→∞解：先判定limx的存在性。nn→∞ϕ(y−x)1由F(x,y)=得F,1(y)=ϕ(y−)1，2x

7、22y1222而F,1(y)=−y+5=[](y−)1+9得ϕ(y−)1=(y−)1+9，推出ϕ(y)=y+9。222ϕ2(x−x)ϕ(x)x+9nnnn由x=F(x2,x)===。n+1nn2x2x2xnnnϕ(x)x9x9令f(x)=F(x2,x)==+≥2⋅=32x22x22x由x=f(x)可知x≥3。n+1nn191当x≥3时，0≤f′(x)=−<。222x2xn+1−xnf(xn)−f(xn−1)1由微分中值定理可得：=≤<1。x−xx−x2nn−1nn−1由比值判别法知：∑xn+1−xn收敛，从而{x

8、n}收敛。即limxn存在。n→∞xn9a9再令limx=a，代入x=f(x)=+，可得：a=+，推出a=3。nn+1nn→∞22x22an故limx=3。nn→∞五、设函数f()x在区间(,a+∞)内可导（其中常数a>0）且lim2()[fxfx+′()]=1x→+∞2x求证：（1）limefx()=+∞(2)limf′()x=0x→+∞x→+∞2x′((efx))22