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1、第五章数理统计的基础知识 5.1数理统计的基本概念习题一已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知), X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量； (B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；(C)X1+X2是一个统计量； (D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.解答：应选(C).由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.习题2观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列
2、的数据.按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160), 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表组序号12345组限组中值组频率组频率%累计频率%70∼807533380∼9085991290∼10095131325100∼110105161661110∼120115262667组序号6789组限组中值组频率组频率%累计频率%120∼130125202087130∼1401357794140∼1501454498150∼16015522100频率直方图见图(a),累积频率
3、直方图见图(b).习题3测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：毛坯重量185187192195200202205206 频数 11111211 毛坯重量207208210214215216218227 频数 21112121将其按区间[183.5,192.5),⋯,[219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图.解答：分组统计表见表 组序号 12345 组限 组中值 组频数组频率/%183.5,∼192.5192.5,∼201.5201.5,∼210.5210.5,∼219.5219.5,∼228.518819720621522
4、432861151040305频率直方图见下图习题4某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计 户数 18357624191414200求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S2.解答：对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计 组中值ak 5.56.57.58
5、.59.510.511.5 - 户数fk 18357624191414200 X¯=1n∑kakfk=1200(5.5×18+⋯+11.5×14)=7.945, S2≈1n-1∑k(ak-X¯)2fk=1n-1∑kak2fk-X¯2 =1199(5.52×18+⋯+11.52×14)-7.9452 ≈66.0402-63.123025=2.917175.习题5设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,⋯,Xn为来自总体的简单随机样本，X¯=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1
6、n(Xi-X¯)2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X¯),E(S2).解答：由X∼B(10,3100), 得E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料日售出台数k23456合计 天数fk2030102515100求样本容量n,经验分布函数Fn(x).解答：(1)样本容量n=100;(2)经验分布函数Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<
7、40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.习题7设总体X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x),X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，记X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi),试求X(1)和X(n) 各自的分布函数和概率密度.解答：设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x), X(n)的分布函数和概率密度分别为Fn(x)和fn(x), 则 Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,⋯,X(n)≤x} =P{X1≤x}P{X2≤x}⋯P{Xn≤x}=[F(x)]n,
8、 fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-
