线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第6章习题答案.pdf

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1、思考题6-11）正确。xx0xx112122）不正确。Axb有可能无解，例如，xx0有唯一解，但xx2无121230xx31xx1212解。3）正确。因为mrAr(Ab,)m，rr(Ab,)A，所以Axb一定有解.4）正确。因为rAmn，所以Ax0有非零解.习题6-11.（1）k0或k1（2）k22.（1）当k0且k2时，有唯一解；当k0或k2时，无解；当k2时，有无穷多个解。（2）当k1且k

2、2时，有唯一解；当k2时，无解；当k1时，有无穷多个解。（3）当a0且ab时，有唯一解；当a0时，无解；当ab0时，有无穷多个解。（4）当k1且k2时，无解；当k1时，有唯一解；当k2时，有无穷多个解。3.当k2时，向量b能由向量组aaa,,线性表示。123xxx01234.解：方程组x20xax与方程x21xxa有公共解，就是方程组1231232x40xax123xxx0123x20xax123是有解的。2x4

3、0xax123x21xxa1231110111012aa00110Ab,2214aa00310121aa1010111101110010aa101012203a1000a13a301a1000a1a111101110010aa1010100a1a100a1a12200a

4、13a3000a4a3当a1且a3时，无解；当a1时，有无穷多个解；当a3时，有唯一解。5.证法1：由ABO，得r()Ar()Bkr(AB)0，r()ABr()k.因为A和B都是非零矩阵，所以rr()1,()1.AB因而rk()A且rk()B.证法2：由ABO可知，B的列向量都是方程组Ax0的解。因为B是非零矩阵，所以方程组Ax0有非零解，rk()A.6.证法1：由rm()A可知,存在可逆矩阵P和Q，使得mnEEmmPAQEO,，P

5、AQEO,E，mmmOOEm1EmAQP，AQPEOOEm令BQP，则B是秩为m的n×m矩阵，ABE.O证法2:要证存在矩阵B使ABE，只需证明方程组Axe(in1,2,,)是有解i的。因为mrAr(Ae,)m，rr(Ae,)A，所以Axe一定有解。iii设b是方程组Axe的解，并令Bbb,,,b，则B是秩为m的n×m矩阵，ii12n且ABE.7.证：充分性设blalala,1122

6、nnbsasasa,1122nn两式相减，得(ls)a(ls)a(ls)a0.111222nnn由于向量组aa,,,a线性无关，因此12nls0(i1,2,,)n，即lsi(1,2,,).niiii故向量b由aa,,,a线性表示的表达式是唯一的。12n必要性设向量b由向量aa,,,a线性表示的表达式唯一，并设12nbkakaka.（1）1122nn下面用反证法来证向量组aa,,,a线性无关.12n设aa,,,a线性相关，则存在不全为零的数cc,,,c使得12n1

7、2ncacaca0.（2）1122nn将（1）和（2）相加，得b(kc)a(kc)a(kca).111222nnn因为cc,,,c不全为零，所以上式与（1）不同，这与b由aa,,,a线性表示的12n12n表达式唯一矛盾，故向量组aa,,,a线性无关.12n思考题6-21.一般不唯一。2.Ax0的两个不同的基础解系之间是等价的。3.m×n型方程组Axb有解时，自由未知数的个数等于nr()A.因为Ab,中无关行向量（即方程组Axb中无关方程）的个数为r()A个，对方程组A

8、xb化简，最后剩下r()A个方程，一个方程能确定一个未知数，多出nr()A个未知数，所以自由未知数的个数等于nr()A.4.一般不唯一。按例6-5中的方法选择自由未知数的好处是：很好地利用了前面的化简结果，这样做能使后面的计算简便易行。习题6-211231.该方程组的基础解系为,1001212112122.（1）通解为kk，基础解系为,。121