轨迹方程的求法及典型例题(含答案).doc

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1、.轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有：（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法*注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.二、练习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程...例3：如图,直线L1和L2相交于点M,L1^L2,点NÎL1.以A,B为

2、端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若DAMN为锐角三角形,

3、AM

4、=,

5、AN

6、=3,且

7、BN

8、=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.例4：已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．..例5：设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.例6：(08、文22)已知曲线：所围成的封闭图形的面积为，曲线的切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭

9、圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点．①若＝λ(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；②若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．..解：(1)由题意得椭圆方程：＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A()．①由．设M(x，y)，由

10、MO

11、＝λ

12、OA

13、(λ≠0)

14、MO

15、2＝λ2

16、OA

17、2．因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝k＝，代入上式有：，由，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，

18、综上所述，M的轨迹方程为，（λ0）．②当k存在且k0时，

19、OA

20、2＝．..由．＝．≥．＝≥，当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．当；当k不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．例7：（07、理21）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；(2)过点作直线与双曲线的右支于两点，试确定的围，使·＝0，其中点为坐标原点．解：(1)在中，，即，，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长..的双曲线，方程为：．（2）设，①当垂直于轴时，的方程为

21、，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：，由题意知：，．由·＝0，且在双曲线右支上，所以．由①②知．例8：（09、）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在..轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得a＝4，c＝3椭圆C的方程为．（2）设M（x，y），P（，）．其中∈[－4，4]，＝x．有

22、……①由得：＝．故【下面是寻找关系式＝f（x，y），＝g（x，y）的过程】又……………………………………②②式代入①：并整理得：，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．例9：（09、理）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点．(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求·的最大值；21世纪教育网..(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆上的点，点N是点M(椭圆上的点)在轴上的射影，点Q满足条件：＝＋，·＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．解：(1)设椭圆方程

23、为：（a＞b＞0）．准线方程＝，＝，椭圆方程为：．所以：C、D是椭圆的两个焦点＋＝4．·≤，当且仅当＝，即点M的坐标为时上式取等号·的最大值为4．(2)设，，N()，．由＝＋，………①由·＝0()·()＝()()＋＝0…………②记P点的坐标为(，)，因为P是的中点，＝＝＝动点P的方程为：．..例10：（09、）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．（1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交

24、于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解：（1）e＝＝．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝，∴＝2，＝3．（2）（－1，0）、（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段的中点为N（0，）．的方程为：y＝t，设M()是所求轨迹上的任意点.【下面求直线MN的方程，然后与直线的方程联立，求交点M的轨迹方程】直线的斜率k＝，∴线段的中垂线MN的斜率＝－．所以：直线MN的方程为：y－＝－x．由，