高考数学总复习 基础知识 第五章 第六节数列的综合问题 理.doc

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1、第六节　数列的综合问题在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理一、等差、等比数列的一些重要结论1．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.2．等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.3．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m，……仍为等差数列．4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m，……仍为等比数列(m为偶数且公比为

2、－1的情况除外)．5．两个等差数列{an}与{bn}的和、差构成的数列{an＋bn}，{an－bn}仍为等差数列．6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数构成的数列{an·bn}，，仍为等比数列．7．等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列．8．等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列．9．若{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列．10．若{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn}(c>0且c≠1)是等差数列．二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：a－d，a，a＋

3、d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.三个数成等比的设法：，a，aq；四个数成等比的设法：，，aq，aq3(因为其公比为q2>0，对于公比为负的情况不能包括)．三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1．对于等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点；当d＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列；当d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当d＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列．若等差

4、数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．2．对于等比数列an＝a1qn－1，可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{an}是单调递增数列；当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是单调递减数列；当q＝1时，是一个常数列；当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．四、数列应用的常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(

5、或减少)的量就是公差．2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比．3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．基础自测1．设{an}，{bn}分别为等差数列与等比数列，a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则下列结论正确的是(　　)A．a2＞b2　　　　　　B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题可得d＝－1，q

6、＝，于是a2＝3＞b2＝2.故选A.答案：A2．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列三个命题：①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则数列{an}是等差数列；③若Sn＝1－(－1)n，则数列{an}是等比数列．这些命题中，真命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：①不妨设数列{an}的前三项为a－d，a，a＋d，则其又成等比数列，故a2＝a2－d2，∴d＝0，即an＝an＋1，为真命题．②由Sn的公式，可求出an＝(2n－1)

7、a＋b，故{an}是等差数列，为真命题．③由Sn可求出an＝2×(－1)n－1，故数列{an}是等比数列，为真命题．故选D.答案：D3．在数列和中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2且对任意n∈N*都有3an＋1－an＝0，则数列的通项公式为____________.答案：bn＝4·3－n(n∈N*)4.一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．解析：依题意可知：a0＝2，a

8、1＝22，a2＝23，…，an＝2n＋1，64MB＝64×210＝216KB，令2n＋1＝216，得n＝15.∴开机后45分钟该病毒占据64MB内存．答案：451．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，c