2020届新高考数学二轮微专题突破01 三角函数中的化简求值(解析版).docx

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1、专题01三角函数中的化简求值一、题型选讲题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．例1、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角

2、正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．9/9例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.(1)求tan的值；(2)求cos的值．【解析】(1)因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分因为α∈，所以α＋∈，(4分)所以cos＝，故sin＝＝所以tan＝.(6分)(2)由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.

3、(8分)因为α∈，所以2α＋∈，所以sin＝.(10分)所以cos＝cos]＝coscos－sinsin(12分)＝.(14分)题型二探究角度之间的关系9/9在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据

4、式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.例3、求值：．【答案】【解析】因为．例4、(2017苏锡常镇调研（一））已知sinα＝3sin，则tan＝________.【答案】：2－4解法1由题意可得sin＝3sin，即sincos－cos·sin＝3sincos＋3cossin，所以tan＝－2tan＝－2tan＝－＝2－4.解法2tan＝tan＝＝2－.因为sinα＝3sinαcos＋3cosαsin，

5、即sinα＝sinα＋cosα，即tanα＝，所以tan＝＝＝＝2－4.例5、(2019年江苏卷)已知，则的值是_____.9/9【答案】.【解析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.题型三、运用构造法化简与求值9/9通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决

6、。例6、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．【答案】　【解析】解法1(方程法)　因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.解法2(系数比较法)　tan＝tan＝＝，tan＝＝，所以＝.例7、求函数的值域【答案】【解析】==-2所以函数的值域为：二、达标训练1、(2017苏州暑假测试）已知α∈，β∈，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ＝________.9/9【答案】－　【解析】因为α∈，cosα＝，所以sinα＝.又α＋β∈，，s

7、in(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×－×＝－.2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．【答案】π【解析】因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＋1＝2，即＝－1，所以tan(α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝π.3、(2019镇江期末）若2co

8、s2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．【答案】－　【解析】解法1　设－α＝β，则α＝－β.由2cos2α＝sin，得2cos＝2sin2β＝4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin＝cos2β＝2cos2β－1＝－.解法2　由2cos2α＝sin得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(co