2020届新高考数学二轮微专题突破08 圆锥曲线中的最值的问题（解析版）.docx

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1、专题08圆锥曲线中的最值的问题一、题型选讲题型一与线段有关的最值问题与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。例1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.(1)求椭圆M的方程；(2)证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；(

2、3)求线段AC长的取值范围．对于(2)，要求证明交于一点Q(0，1)，角度一：根据图形的对称性可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x1，y1)，C(－x2，y2)，再设l1方程为y＝kx＋4，则可由一元二次方程根与系数的关系判断出点B，D，Q三点共线，同理有点A，C，Q三点共线，这个角度的逻辑是借助了给出的定点(0，1)，然后验证，有些不严谨；角度二：直接求直线AC和直线BD的方程，联立求解坐标，这个方法是逻辑严谨的首选，不过计算量稍大．对于(3)，可由两点间的距离公式表示出AC的长度，将表达式的关于x1，x2

3、的结构用含有k的式子代换掉，回归一元变量，求解最值，可直接求导.但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，23/23而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．规范解答(1)由得a＝2，c＝2，所以b2＝a2－c2＝4，所以椭圆M的方程为＋＝1.(

4、4分)(2)解法1设直线l1：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知D(－x1，y1)，C(－x2，y2)．联立消去y得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0,所以x1＋x2＝，x1·x2＝.(6分)又kBQ＝，kDQ＝，则kBQ－kDQ＝－＝＋＝2k＋＝2k＋＝2k－2k＝0，(8分)知kBQ＝kDQ，故点B，D，Q三点共线，即直线BD经过点Q(0，1)．同理可得直线AC经过点Q(0，1)．所以直线AC与直线BD交于点Q(0，1)．(10分)解法2设直线l1：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(

5、x2，y2)，则由对称性可知D(－x1，y1)，C(－x2，y2)，且k＝.联立削去y得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0，Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)·24＝64k2－96>0.所以x1＋x2＝，x1·x2＝.(6分)直线AC的方程为y＝－(x－x1)＋y1＝－(x－x1)＋kx1＋4.直线BD的方程为y＝(x－x2)＋y2＝(x－x2)＋kx2＋4.23/23联立直线AC和直线BD的方程并化简得k(x1＋x2)＝，即＝＝－1，即＝－1＝－1，解得x＝0.在直线AC的方程中，令x＝0，得y＝－(－x1)＋kx1

6、＋4＝－(－x1)＋kx1＋4＝＋4.将x1＋x2＝，x1·x2＝代入计算得y＝＋4＝＋4＝－3＋4＝1.同理可得，在直线BD的方程中，令x＝0，得y＝＋4＝＋4＝－3＋4＝1.故直线AC与直线BD交于点Q(0，1)．(3)由(2)可知AC2＝(x1＋x2)2＋(y1－y2)2＝(x1＋x2)2＋k2(x1－x2)2＝(x1＋x2)2＋k2＝＋k2＝16×＝16.(12分)令t＝6k2－1，则k2＝.又由Δ＝162k2－4×24×(1＋2k2)>0得k2>，所以t>8，所以AC2＝16＋]＝16(1＋]＝16(1＋)．(

7、14分)因为′＝1－>0在t∈(8，＋∞)上恒成立，所以t＋＋8在t∈(8，＋∞)上单调递增，所以t＋＋8>18,0<<，1<1＋<.23/23所以16

8、2)若r＝.①求证：k1k2＝－；②求OP·OQ的最大值．思路分析1第(2)问，注意到直线OP，OQ与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到k1，k2与x0，y0的关系，利用点(x0，y0)在椭圆上，来求出k1k2的值．由直线OP，OQ与椭圆相交，求出交点的坐标，进而将OP·OQ表示为k1，k