2020届新高考数学二轮微专题突破14 运用函数的图像研零点问题（解析版）.docx

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1、专题14运用函数的图像研零点问题一、题型选讲题型一：运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为【答案】5　【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f

2、(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5

3、x

4、＝0，得f(x)＝log5

5、x

6、，分别画出y＝f(x)和y＝log5

7、x

8、的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5

9、－3

10、<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5

11、－7

12、＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．例2、(2017苏锡常

13、镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝

14、f(x)

15、－的零点个数为________．【答案】4　【解析】设g(x)＝，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝，所以g(x)在(1，13/13)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出y＝

16、f(x)

17、与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．易错警示答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴．题型二运用函数图像研究复合函数零点个数复合函数零点问题的特点：考虑

18、关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数例3、(2017南通期末）已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2015)上的零点个数为________．【答案】11　【解析】解法1由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f，①当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2

19、·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；13/13②当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2015)上零点的个数是11.解法2由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝·f，所以f(x)ma

20、x＝f＝.令g(x)＝.当x＝·2n－1时，g(x)＝g＝，所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点．下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝－，k1＝f′(x)＝－，g(x)＝，k2＝g′(x)＝－∈，所以k1

21、n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2015)上零点的个数是11.解法3分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2015)上零点的个数是11.题型三运用函数图像研究与零点有关的参数问题三类问题之间的联系：即