2020届新高考数学二轮微专题突破专题16 函数的存在与恒成立问题（解析版).docx

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1、专题16函数的存在与恒成立问题一、题型选讲题型一函数的存在问题函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要例1、(2016泰州期末）若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)　【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．易错警示转为真命题来

2、处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立例2、(2016苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1,5)　【解析】解法1当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于

3、x3－ax

4、<2，即－2

5、x2－a

6、≥2，即

7、a－x2

8、≥.(1)当a≥4时，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5

9、.(2)当a≤1时，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1.(3)当1

10、a－x2

11、≥0，与>0矛盾．那么有a≤－1或a≥5，故原题答案为－1

12、故分a≥0和a<0两种情况讨论，当a≥0时，结论易得；当a<0时，由于x

13、x－a

14、－a，从而问题转化为y＝x3和y＝3

15、x－a

16、＋a的图像在y轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论．解法1(分类讨论法)当a≥0时，只考虑x0，f(x)在(－∞，a)上单调递增，而f(0)＝－4a≤0，显然不存在x0＜0，使得f(x0)＝0，所以a≥0不成立．当a<0时，当x<

17、a时，f(x)在(－∞，a)上单调递增，且f(x)0，即－1

18、x－a

19、－a，由题意可得y＝x3与y＝3

20、x－a

21、＋a在y轴左侧有交点．y＝3

22、x－a

23、＋a的顶点为(a，a)，在直线y＝x上

24、，由解得x＝－1.又y＝x3在x＝－1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a∈[－1，0)例4、(2016南京学情调研）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R.(1)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切，求b的值；(2)设函数T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求T(x)的单调递增区间；(3)设函数h(x)＝

25、g(x)

26、·f(x)，b＜1.若存在x1，x2∈[0,1]，使

27、h(x1)－h(x2)

28、＞1成立，求b的取值范围．思路分析(1)对于直线与曲线相切问题，只要切点不知道的，都要先设切点坐标，然后运用好切点的双重身份，即切点既是切线上的点，又是曲

29、线上的点，它的坐标既适合切线方程，又适合曲线方程，再由方程(组)思想，求出未知量；(2)要求函数T(x)的单调递增区间，只要求T′(x)＞0的解区间就行，不过需对a进行分类讨论；(3)首先要把“若存在x1，x2∈[0,1]，使

30、h(x1)－h(x2)

31、＞1成立”运用等价转化的思想转化为“h(x)在[0,1]上的最大值h(x)max和最小值h(x)min满足h(x)max－h(x)min>1”，接下来的问题就是求h(x)在[0,1]上的最大值和最小值．对于含绝对值的函数