常微分方及其应用.doc

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1、第5章常微分方程及其应用习题5.21．求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），．5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入求微分方程的通解．解两边积分，得两边再积分，得所以，原方程的通解为，其中为任意常数．5.3.1可降阶微分方程1.形如的微分方程特点：方程右端为已知函数．解法：对连续积分次，即可得含有个任意常数的通解．2.形如的微分方程特点：方程右端不显含未知函数．解法：令，则．于是，原方程可化为．这是关于的

2、一阶微分方程．设其通解为，即．两边积分，即可得原方程通解，其中为任意常数．3.形如的微分方程特点：方程右端不显含自变量．解法：令，则．于是，原方程可化为．这是关于的一阶微分方程．设其通解为，即．分离变量，得．然后两边积分，即可得原方程通解，其中为任意常数．例5-7求微分方程的通解．解两边积分，得两边再积分，得第三次积分，得所以，原方程的通解为，其中为常数．例5-8求微分方程的通解．解令，则．原方程可化为，即．这是关于的一阶线性齐次微分方程．其通解为：，即．两边积分，即得原方程通解，其中为任意常数．例5-9求微分方程的通解．解令，则．于是，原方程可化为．

3、这是关于的一阶线性非齐次微分方程．其通解为即．两边积分，即得原方程通解其中为任意常数．例5-10求微分方程的通解．解令，则．于是，原方程可化为，即．这是关于的一阶线性齐次微分方程．其通解为，即．所以原方程通解为，其中为任意常数．5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4形如（5-5）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1如果函数和是方程（5-5）的两个解，那么（5-6）也是方程（5-5）的解．（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解就是通解吗？不一定．

4、例如，设函数是方程（5-5）的一个解，则函数也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，是方程（5-5）的解．但仍是一个任意常数，所以不是方程（5-5）的通解．那么在什么条件下才能保证就是通解呢？定义5.5设和是定义在某区间上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数和，使在区间上恒成立，则称函数与在区间上线性相关，否则称线性无关．由定义5.5可知，判断函数与线性相关或线性无关的方法：当常数时，与线性相关．当常数时，与线性无关．定理5.2如果函数和是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（证明略）2.二阶常系数齐次线性

5、微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解．猜想方程（5-5）有形如的解，其中为待定常数．将代入该方程，得，由于，所以只要满足方程（5-7）即当是方程（5-7）的根时，函数就是方程（5-5）的解．定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程．特征方程的根称为特征根．设为特征方程（5-7）的两个特征根．根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根，则和是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为

6、，其中为任意常数．（2）若方程（5-7）有两个相等实根，则仅得到一个特解，利用常数变易法可得到与线性无关的另一个特解，故方程（5-5）的通解为，其中为任意常数．（3）若方程（5-7）有一对共轭复根与，则和是方程（5-5）的两个复数特解．为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解和．故方程（5-5）的通解为，其中为任意常数．由定理5.1可知，以上两个函数和均为方程（5-5）的解，且它们线性无关．上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征根法．一般步骤：第一步写出所给微分方程的特征方程；第二步求出特征

7、根；第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解．（特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1特征根与通解的关系特征方程的两个根微分方程的通解一两个不相等实根二两个相等实根三一对共轭复根，例5-11求微分方程的通解．解该方程的特征方程的特征根为，（）．所以，方程的通解为．例5-12求微分方程满足初始条件，的特解．解该方程的特征方程的特征根为．所以方程的通解为上式对求导，得：将，代入上两式，解得，．因此，所求特解为．例5-13求微分方程的通解．解该方程的特征方程的特征根为，．所以，方程的通解为．5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7形如（5-8）的微

8、分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3如