常微分方程数值解法及其应用

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1、常微分方程数值解法及其应用——浙江师范大学数理信息工程学院【摘要】：本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究。主要讨论了几种常用的数值解法：即欧拉法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。文章最后结合常见数值解法，对较为典型的微分方程模型进行数值求解，探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。【关键词】：常微分方程；数值解法；模型引言在工程技术问题中，经常需要求解常微分方程的初值问题（1）而关于常微分方程各种各样的解析方法，只能求解一些特殊类型的方程。在大多数情况下，对初值问题(1)，只能用数值法求解。数值解法的基本思想是求初值问题(1)的解在一系

2、列等距节点：处的近似值：。其中相邻两个节点间的距离称为步长，即节点。一、单步法单步法是指这类方法在计算时，只用到前一步的值，然后逐步往下计算。这个算法的代表是龙格——库塔算法，简称R-K方法。四阶显示Runge—Kutta方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge—Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。（一）Euler方法由微分由微分方程的基本概念可知，初值问题(1)的解是在平面上的一条过点的积分曲线，在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。按照按照数值解法的基本思想，取等距节点，在点处，以为斜率作直线，与直线交于点。如果步长较小，

3、那么所作直线与曲线的偏差不会太大，所以可用的近似值，即：再从点出发，以为斜率作直线，作为的近似值，即：重复上述步骤，就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。一般地，若为的近似值，则过点以为斜率的直线为：从而的近似值为：这就是欧拉(Euler)公式。因为欧拉方法是用折线近似代替曲线，所以欧拉方法又称为欧拉折线法。欧拉方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，但它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用欧拉方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。（二）改进的Euler方法为了提高精度，从另一角度来考察初值问题(1)。对微分方程：两边从到积分，得到：即：在上式中，只要近似地算出积分：，就

4、可得到微分方程的一种求解格式。为了减少误差，用梯形公式近似计算积分：从而有：再将，分别用，代替，就得到了新的求解格式：（2）在实际使用中往往先用欧拉公式求出一个初步的近似值，记为，称之为预报值，再将代替格式(2)右端的进行计算，得到校正值，这样就有：用预报、校正公式求解上述初值问题的方法称为改进的欧拉方法。欧拉方法每一步只要对调用一次，由于增加了校正过程，计算量较欧拉方法增加了一倍，付出这种代价的是为了提高精度。（三）Runge—Kutta方法欧拉公式可以改写为：，它每一步计算的值一次，截断误差为。改进的欧拉公式可以改写为：，它每一步要计算的值两次，截断误差为。改进的欧拉方法之

5、所以比欧拉方法具有更高的精度，是因为在每一步它都比欧拉方法多计算了一次的值。因此，要进一步提高精度，可以考虑在每一步增加计算的次数。如果考虑在每一步计算的值四次，则可以推得如下公式：此公式称为标准四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)公式，它的截断误差为。虽然用龙格-库塔方法每一步需要四次调用，计算量较改进的欧拉方法大一倍，这里由于龙格-库塔方法的步长增大了一倍，因而两种方法总的计算量相同，但龙格-库塔方法精确度更高。所以龙格-库塔公式兼顾了精度和计算工作量的较为理想的公式，在实际计算中最为常用。二、多步法多步法在计算时，除了用到前一步的值之外，还有用到这前面步的值，这个算法

6、的代表就是阿达姆斯（Adams）方法。（一）阿达姆斯（Adams）外插公式——显式方法Adams显式公式系数表123413-123-16555-5937-91901-27742616-1274251在Adams显式方法中，最常用的是情形：上式为线性四阶阿达姆斯显式公式，也叫阿达姆斯外插公式。因为它要用到前面四个节点上的值，是一种最常用的多步算法，其精度为四阶。（二）阿达姆斯（Adams）内插公式——隐式方法Adams隐式公式系数表123411158-1919-51251646-264106-19在Adams隐式方法中，最常用的是的情形：上式为线性四阶阿达姆斯隐式公式，也叫阿达姆

7、斯内插公式。因为它要用到前面三个节点上的值，是一种最常用的多步算法，其精度却为四阶。（三）Adams四阶预测——校正格式（PECE模式）将阿达姆斯方法显式与隐式方法作一对比，以说明预测——校正格式的必要性。这些方法的阶及误差常数列表如下：步数阶误差常数显式隐式显式隐式112223334445由于阿达姆斯内插公式是隐式公式，故用它计算时也需用迭代法。通常把阿达姆斯外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，即对于上述迭代式只进行迭代一次，便得到Adams四阶预测——校正