电磁场理论第4章：静态场的解课件.ppt

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1、第四章静态场的解*4.1边值问题的分类*4.2唯一性定理4.3镜像法4.4分离变量法*4.5复变函数法*4.6格林函数法*4.7有限差分法*4.1边值问题的分类第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数；第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。4.2唯一性定理满足边界条件和拉普拉斯方程的解是唯一的！4.3镜像法4.3.1平面镜像法例4-1置于无限大接地导体平面上方，距导体面为h处有一点电荷q，求导体上方的电位。无限大导体平面上

2、点电荷的镜像xz0φ（导体下方因屏蔽电位为零）当z>0时，▽2φ=0(q点除外）当z=0时，φ=0当z→∞时，φ=0解：用-q电荷代替导体面上电荷所产生的电位于是，导体面上任一点的电位是由电荷q与镜像电荷-q产生电位的叠加由由Dn=ρS可得导体表面(z=0)的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：（查高数积分公式可得）讨论：由上题结论可以处理下面问题相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像4.3.2球面镜像法例4-2如图所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。球面镜像原问题；等效问题0P00AB解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面

3、电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b

4、′位置和大小同上，q″的位置也在原点，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。*4.3.4平面介质镜像法例4-6设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0及x>0的半空间，在介质2中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图4-7(a)所示，求空间各点的电位。图4-7例4-6用图(a)介质镜像问题；(b)区域2等效；(c)区域1等效解：右半空间任一点的电位为左半空间任一点的电位为其中q′和q″待定。4.4分离变量法4.4.1直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为设φ可以表示为三个函数的乘积，即分离变量然后用XYZ除上式，得于是，有：（α、β、γ为常数）当α=0时

5、，则当α=jkx(kx为实数)，则该式也可表示为如下的指数形式：（特点：有多个零点）（特点：只有一个零点，解可为常数）当α=kx(kx实数)，则该式也可表示为如下的指数形式：（特点：只有一个零点，sh0=0）ch0=1例4-7横截面如图4-8所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。图4-8矩形截面导体槽0解：本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x,y)。在区域0

6、,0)=0④y=b,φ(x,b)=U0即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1,2,3,…)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。由于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数有c2=0,Y(y)=c1sh(nπy/a)，这样我们就得到基本解X(x)Y(y)，记作只可选解的形式为：带边界条件1、2得：通解为取不同的n值对应的φn的叠加，即由边界条件④，有φ(x,b)=U0，即其中：于是，左右两边同乘以sin(mπx/a)，并在区间(0，a)积分，有：（仅有n=m时积分不为零）因而，n=2,4,6,…n=1,3,5,…所以，当n=1,3,5,…时，当n=2,

7、4,6,…时，这样,得到区域的电位为:例4-8如图4-9所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为φ(x,0)，求此半无限槽中的电位。其中：图4-9无限长槽的电位解：和前题类似，这是一个二维拉普拉斯方程边值问题，φ=φ(x,y)，边界条件为①φ(0,y)=0②φ(a,y)=0③φ(x,∞)=0④为满足边界条件④，取级数代入边界条件④，得运用正弦函数的正交归一性，得：*4.4.2圆柱坐标系中的分离变量法当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位φ(r