1987年全国初中数学联赛试题.pdf

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1、太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮1987第四届全国初中数学联赛第一试一、选择题1111．已知实数a，b，c满足abc0，abc8，那么的值（）abcA．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定2．在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（）A．可以是直线AD上的某一点B．只是B点和C点C．只是线段AD的中点D．有无穷多个3．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，CDAB，DEOC，如果AD，BD和CD的长都是有理数，那么命题C甲：OE的长

2、是有理数．乙：DE的长是有理数．E丙：图中所有字母表示的线段的长都是有理数．（）ADOBA．只有甲正确B．只有乙正确C．只有甲、乙正确D．甲、乙、丙都正确4．已知方程

3、

4、xax1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（）A．a1B．a1C．a≥1D．非上述答案5．已知四边形ABCD内有一点E，连接AE，BE，CE，DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题甲：ABCD是凸四边形．乙：E是对角线AC的中点或对角线BD的中点．丙：ABCD是平行四边形．在以上三条中A．只有甲正确B

5、．只有乙正确C．甲、乙、丙都正确D．甲、乙、丙都不正确6．把由1开始自然数依次写下去，直写到第198位为止：123456789101112，那么这个数用9除的余数是198位A．4B．6C．7D．非上述答案二、填空题1．在三边长是连续自然数，周长不超过100的三角形中，锐角三角形的个数是________．cb2．设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C所对边的长，而且A60，那么abac的值是_________．3．[]a表示不大于数a的最大整数．例如21，22，

6、1那么方程3xx12的所有根的和是__________．24．设自然数n有下面性质：从1，2，…，n中任取50个不同的数，这50个数中必有两个数之差等于7，这样的n最大的一个是__________．5．有个五位数的正奇数x，将x中的所有2都换成5，所有5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y．若x和y满足等于yx2(1)，那么x是_________．欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮第二试222一、当a、b为何值时

7、，方程x2(1ax)(3a4ab4b2)0有实根？二、已知：D是△ABC的边AC上的一点，且ADCD:2:1，C45，ADB60．求证：AB是△BCD的外接圆的切线．三、已知存在正整数n，能使数1111被1987整除，求证：数n个p1111999988887777和q1111999988887777都能被1987整除．n个n个n个n个n个n个n个n个1987第四届全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1．C【解析】∵abc8．∴a，b，c全不为0．又∵abc0，则有2

8、222(abc)abc2(abbcca)0222∵abc0∴abbcca0．111abbccaabbcca故0．abcabc8故选C．【点评】此题要充分利用题目中给出的实数a，b，c之间的关系，abc8，abc0，通过通分可以看出只要知道abbcca的正负值便知道()abc的平方便知道abbcca的值为负，2222这其中公式(abc)abc2(abbcca)需要大家牢记．2．D【解析】易证明：线段BC上的每一点到四点A，B

9、，C，D距离之和都等于ADBC，且平面上任一点到A，B，C，D距离之和最小为ADBC．因此平面上任一点到A，B，C，D距离之和的最小者有无穷多个．故选D．【点评】首先很明显这样的点在直线AD上，经过检验可知BC上的点都符合条件，故有无穷多个．3．D【解析】因为AD、BD和CD的长都是有理数，ADBD所以OAOBOC是有理数．2于是ODOAAD是有理数．2ODDCDO由此OE，DE都是有理数，OCOC欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学CEOCOE太原学而思

10、初二数学团队，优秀学生的摇篮，ABADDB也是有理数，所以甲、乙、丙都是正确的．故选C．【点评】此题要注意，有理数之间的加减乘除后的数仍然是有理数，通过几何知识可把图中的每个线段的长度通过其他已知的有理线段的长度表示出来，故每个线段的长度都是有理数．4．C1【解析】设x是方程的负根，则xax1，由此x0，所以a10，a1，显然a1时，a1方程有一个负根．假设方程有一个正根x，则xax1，由些(