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1、MatlabMathCleveMorler著陈文斌（wbchenfudan.edu.cn)复旦大学2019多项式和样条在平面上给定n个点(xk,yk),可以唯一确定一个最多n-1次的多项式通过这些点，这个多项式叫插值多项式插值多项式P(xk)=yk,k=1,2,…,nLagrange插值形式插值多项式例子x=0:3;y=[-5–6–116];disp([x;y])Monomial基Vandermonde矩阵x=0:3;y=[-5–6–116];V=vander(x)c=Vy’Vandermonde矩阵是非奇异的
2、，但条件数是非常坏的Polyinterp(Lagrange插值形式)functionv=polyinterp(x,y,u)n=length(x);fork=1:nw=ones(size(u));forj=[1:k-1k+1:n]w=(u–x(j))./(x(k)–x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end-0.500.511.522.533.5-10-50510152025u=-.25:.01:3.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,’o’,u,v,’-’)Polyinter
3、p(符号运算)symx=sym(‘x’)P=polyinterp(x,y,symx)pretty(P)P=simplify(P)P=x^3-2*x-5012345676810121416182022Polyinterp(另外的例子)x=1:6;y=[161821171512];u=.75:.05:6.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,’o’,u,v,’-’);0123456710121416182022分片线性插值x=1:6;y=[161821171512];plot(x,y,’o’
4、,u,v,’-’);function[v,sigma]=piecelin(x,y,u)d=diff(y)./diff(x);%Firstdivideddifference%Findsubintervalindices,x(k)<=u=x(j))=j;end%Evaluateinterpolants=u-x(k);v=y(k)+s.*d(k);分片三次插值设s=x-xk,h=hkHermite插值（osculatory
5、插值）pchiptx.msplinetx.mpchiptxpchip:piecewisecubicHermitinterpolatingpolynomial,Matlab中pchip算法基于Fritsch和Carlson1、如果左右导数是相反符号或有0，则dk=02、如果同号且区间长度相等，则是调和平均3、如果同号且区间长度不相等，则是加权调和平均0123456710121416182022三次样条三次样条也是分片三次插值函数。物理上的样条在满足插值限制的前提下，最小化势能。数学上的样条必须满足二次导数连续，且满
6、足插值限制。参考文献：APracticalGuidetoSpline,CarldeBoor。他也是Matlab的spline函数和spline工具箱的作者。三次样条二阶导数连续等距“Not-a-knot”在边界上，把两段合成一段，在等距的情况下：这样，可以导致一个线性代数方程组：三次样条然后我们可以计算出各个节点的一阶导数0246810121416182022分片线性插值02468510152025fulldegree多项式插值0246810121416182022保形状Hermit插值0246810121416
7、182022样条插值分析上面的图描述了光滑性和局部单调性（保形状）的一种折衷。分片线性插值：保持单调性的，但光滑性比较差。Fulldegree多项式插值：无限可微，但不保持形状，特别是在端点的地方。Pchip和spline插值在这两个极端之间。样条比pchip光滑，样条的两阶导数连续，而pchip一阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。人的眼睛可以检测出图形上曲率的不连续。另一方面，pchip是保形状的，而样条不一定保形状。pchiptx和splinetxpchiptx和splinetx都是基于分片三次
8、Hermite插值，在每个区间用monomial基：pchiptx.m,splinetx.m请比较一下与matlab中的pchip与spline的区别123456-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Interpolatationinterpgui
