2019年多元函数极值课件.ppt

《2019年多元函数极值课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§8.8多元函数极值一、多元函数的极值和最优值观察二元函数的图形.设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的任意点(x,y),若满足不等式:f(x,y)f(x0,y0)则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0),称点(x0,y0)为函数f(x,y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1.多元函数极值

2、的定义函数z=xy在点(0,0)处无极值.函数在点(0,0)处有极大值.函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值.证:不妨设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.则对点(x0,y0)的某邻域内任意的(x,y)(x0,y0)都有,f(x,y)

3、)处偏导数存在,且在该点处有极值,则它在该点的偏导数必然都为零,即fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.注意:由极值存在的必要条件知,函数的偏导数存在但不同时为零的点不可能为极值点.由此可以看出,可能成为极值的点(称为极值嫌疑点)只有两类:驻点和偏导数不存在的点.如果是偏导数存在的函数就只有驻点才可能是极值点,但是驻点未必是极值点.例如(0,0)点是函数z=xy的驻点,但不是极值点.问题:如何判定一个驻点是否为极值点?推广:如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处具有偏导数,则它在点P(x0,y0,z0)处有极值的必要条件为:

4、fx(x0,y0,z0)=0,fy(x0,y0,z0)=0,fz(x0,y0,z0)=0.仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,称为此函数的驻点.定理2(极值存在的充分条件):设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,及fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),则z=f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:(1)当AC–B2>0时具有极值,当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;(2)当AC–B2<0时没有极值

5、；(3)当AC–B2=0时可能有极值,也可能没有极值,需另作讨论.例1:求函数f(x,y)=x3–y3+3x2+3y2–9x的极值.解:解方程组得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).求二阶偏导数:fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=–6y+6.在点(1,0)处,AC–B2=126>0,且A=12>0,所以函数在点(1,0)处有极小值f(1,0)=–5;在点(1,2)处,AC–B2=12(–6)<0,在点(–3,0)处,AC–B2=(–12)6<0,所以f(–3,0)和f(1,2)不是极值;在点(–

6、3,2)处,AC–B2=–12(–6)>0,且A=–12<0,所以函数在点(–3,2)处有极大值f(–3,2)=31.例2:求由方程x2+y2+z2–2x+2y–4z–10=0确定的隐函数z=f(x,y)的极值.解:在方程两边分别对x,y求偏导,得由函数取极值的必要条件知,求驻点.令得驻点P(1,–1).在上述方程组两边再分别对x,y求偏导数,得将驻点P(1,–1)代入上述方程组方程组,并注意到得故将驻点P(1,–1)代入原方程,得z1=–2,z2=6.当z2=–2时,所以z=f(1,–1)=–2为极小值;当z2=6时,所以z=f(1,–1)=6为极大值

7、.与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.设函数f(x,y)在区域D上连续,D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最优值,则这个最值也一定是极值.3.多元函数的最优值问题求最优值问题的一般方法:将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值(最小值),这时如果函数在区域内只有一个驻点,则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值(最小值).例3:求二元函数z=f(x,y)=

8、x2y(4–x–y)在以直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域上