定积分计算课件.ppt

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1、思考：第二节　定积分基本积分法换元法分部积分法牛顿－莱布尼兹公式：其中【例1】【例2】1．定积分的换元积分法设f(x)在[a,b]上连续，若　　　满足：(1)(2)在　　(或　　)上，　　连续且则2．定积分的分部积分法【例3】【解】令x=2sect,问题：原式＝　　　　　，可以吗？x=2t=t=0;x=4注：定积分换元必须换限，而不必回代．(1)不定积分换元必须回代原变量；(2)变换　　　　须满足条件．例若作倒代换　　　，则所以，原式=0×【例4】奇偶函数在对称区间上的积分性质(1)若f(x)为偶函数,则设f(x)在[－a,a]上连续

2、(2)若f(x)为奇函数,则【证明】令x=－t，则一般结果(1)若f(－x)=f(x),则(2)若f(－x)=－f(x),则【例5】奇函数偶函数单位圆的面积【例6】周期函数的积分性质若连续函数f(x)以T为周期，则　　　，有结论说明：周期为T的连续函数在任一长度为T的区间上的积分值都相等，与积分区间的起讫点无关．TO2Ta－Ta+T【证明】只需证即令x=u+T，则另证：设只需证注：若连续函数f(x)以T为周期，则有(n为自然数)例【例7】f(x)在[0,1]上连续，则【证明】例如：【例8】计算　　　　　　　　(n为非负整数)【解】时n

3、为偶数n为奇数0n为偶数n为奇数例如：【例9】已知f(0)=1,f(2)=3,　　　　,求【解】【例10】dvuu注：积不出来f(x)连续f(x)可积f(x)可积说明f(x)的原函数存在．积不出来说明f(x)的原函数不能用初等函数表达．第七章　定积分应用与广义积分定积分应用广义积分几何应用，经济应用设f(x)在[a,b]上连续,且整体面积A近似代替求和取极限简化步骤：任取面积元素回顾：U具有可加性(即整体量＝局部量之和)，且(1)分布在[a,b]上；(2)　　　　　　　，U在[x,x+dx]上的局部量则积分元素说明：中，f(x)dx必

4、须是　的线性主部，即要定积分的元素法(微元法)此时实际上f(x)dx=dU第一节　几何应用平面图形的面积曲线的弧长空间区域的体积一、平面图形的面积1．直角坐标系下OxyabAxx+dxdA【例1】计算由　　　与y=x+4所围成的图形面积．【解】y=x+4交点(－2,2),(4,8)问题是否要讨论f(x)，g(x)的正负性？y=f(x)y=g(x)Aba－24【例2】求在区间上曲线y=lnx,x轴及两直线所围成的平面区域的面积．【解】12xy0