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《罗琦选修21利用空间向量解立体几何典型例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、空间角说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。在可以建立空间坐标系的前提下，以下的点的坐标可求出。1．异面直线所成的角点A，B直线a,C，D直线b。构成向量。所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。例1．如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，CA=CB=1，，棱AA1=2，求异面直线BA1，CB1所成的角。2．线面所成的角与的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以OAP与的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值。例2．棱长为a
2、的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求点A1D与平面EFBD所成的角。3．二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。，则二面l角的平面角为或π。所以，，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。EGFDCBA例1．如图，平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，
3、F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成300的角。(1)求证：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数；(3)当AD的长是多少时，点D到平面EFG的距离为2，请说明理由。点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离一、空间距离1．点到面的距离OAP点P到面的距离可以看成在平面的法向量的方向上的射影的长度。2．异面直线间的距离异面直线a,b之间的距离可以看成在a,b的公垂向量的方向上EbaF的射影的长度。例4．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD
4、=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求(1)异面直线D1F与B1E所成角的大小；(2)二面角D1-AE-D的大小；(3)异面直线B1E与D1F的距离。2．线面距离直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，例5．侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC。(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1-AD-B的大小；(3)求三棱锥C1
5、-ABB1的体积。3．平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。例6．如图所示，在直三棱锥ABC-A1B1C1中，，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证；平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离。练习：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。（Ⅰ）求
6、异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。2．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点。（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.ACBDP4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角
7、的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离6．(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
8、（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.、7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。8.(2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角9.(2008湖北理)如图，在直
