二次型及其标准形-线性代数课件.ppt

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1、求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵的全部不同的特征值。即求齐次线性方程组的基础解系。3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。2.对每个特征值，求出对应的特征向量，这样共可得到个两两正交的单位特征向量4.以为列向量构成正交矩阵有即必须注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。例2设求正交矩阵，使得为对角阵。解当时，由即得基础解系当时，由即得基础解系当时，由即得基础解系只需把单位化，得（考虑为什么？）得正交矩阵有只需把单位化，得只需把单位化，得解秩设的特征向量

2、为则例3设3阶实对称矩阵A的特征值为，已知，相对应的特征向量分别为,求的值及矩阵A.得基础解系思考求A，C还有没有别的取法？把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例4：已知方阵的特征值是相应的特征向量是求矩阵解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得2.求方阵的幂例5：设求解：可以对角化。齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础

3、解系:齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:令求得即存在可逆矩阵,使得是矩阵A的一个特征值，且向量(1,1,…,1)T⑴是A的λ＝a的对应的特征向量；⑵当A可逆，且a≠0时，A－1的各行元素之和为多少？思考题：设n阶方阵A的各行元素之和为a，试证:矩阵的各行元素之和为多少?第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示§5.5二次型其次标准形引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图称为n维(或n元)的二次型

4、.定义含有n个变量的二次齐次函数关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。为二次型的标准形。取则则二次型可以表示为二次型用和号表示令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：例1写出下面二次型f的矩阵表示，并

5、求f的秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线

6、性变换。当C是可逆矩阵时,称对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性记作回忆相似关系：比较合同和相似关系(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与

7、B相似,则;(5)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：回忆：此结论用于二次型所以，主轴定理(P191定理6.2.1)1.正交变换法对二次型存在正交变换，使其中为的特征值。其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。定理：用正交变换化二次型为标准形的步骤例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型f的矩阵(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正

8、交的特征向量而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即（4）写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准型2.解二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。§5.6用配方法化二次型成标准形配方法的步骤1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线