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1、2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)当时,与等价的无穷小量是()(A).(B).(C).(D).答案：(B).(2)曲线渐近线的条数为()(A).(B).(C).(D).答案：(D).(3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是()(A).(B).(C).(D).答案：(C).(4)设函数在处连续,则下列命
2、题错误的是()(A)若存在,则.(B)若存在,则.(C)若存在,则存在.(D)若存在,则存在.答案：(D).(5)设函数在上具有二阶导数,且,令,则下列结论正确的是()(A)若,则必收敛.(B)若,则必发散.(C)若,则必收敛.(D)若,则必发散.答案：(D).(6)设曲线(具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点和第Ⅳ象限内的点,为上从点到点的一段弧,则下列积分小于零的是()(A).(B).(C).(D).答案：(B).(7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是()(A).(B).(C).(D).答案：(A).(8)设矩阵,,则与()(
3、A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,也不相似.答案：(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()(A).(B).(C).(D).答案：(C).(10)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示的概率密度,则在条件下,的条件概率密度为()(A).(B).(C).(D).答案：(A).二、填空题：11～16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(11).答案：.(12)设为二元可微函数,则.答案：.(13)二阶
4、常系数非齐次线性微分方程的通解为.答案：非齐次线性微分方程的通解为.(14)设曲面,则.答案：.(15)设距阵则的秩为.答案：(16)在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为.答案：三、解答题：17～24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值.答案：函数在上的最大值为,最小值为.(18)(本题满分10分)计算曲面积分其中为曲面的上侧.答案：.(19)(本题满分11分)设函数,在上连续,在内二阶可导且存在相等的最大值,又＝,
5、＝,证明：存在使得证明：设,由题设存在相等的最大值,设,使.若,即与在同一点取得最大值,此时,取,有；若,不妨设,则,,且在上连续,则由零点定理得存在使得,即；由题设＝,＝,则,结合,且在上连续,在内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：存在使得.在再由罗尔定理,存在使.即.(20)(本题满分10分)设幂级数在内收敛,其和函数满足.(I)证明.(II)求的表达式.答案：(I)证明：对,求一阶和二阶导数,得代入,得.即.于是从而(II).(21)(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解,求得值及所有公共解.答案：当时,,所以方程组的通解为,为任
6、意常数,此即为方程组(1)与(2)的公共解.当时,,此时方程组有唯一解,此即为方程组(1)与(2)的公共解.(22)(本题满分11分)设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记,其中为3阶单位矩阵.(I)验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量；(II)求矩阵.答案：(I)由,可得,是正整数,则,于是是矩阵的属于特征值特征向量.所以的所有的特征向量为：对应于的全体特征向量为,其中是非零任意常数,对应于的全体特征向量为,其中是不同时为零的任意常数.(II).(23)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I)求；(II)求的
7、概率密度.答案：(I).(II)(24)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中参数未知,是来自总体的简单随机样本,是样本均值.(I)求参数的矩估计量；(II)判断是否为的无偏估计量,并说明理由.答案：(I)；(II)只须验证是否成立即可.,,,,代入得,所以不是的无偏估计量.
