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1、2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A).(B).(C).(D). 【】【答案】应选(B).【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有；；利用排除法知应选(B).【评注】本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答
2、案。事实上，=(2)曲线，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3. 【】【答案】应选(D).【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为，所以为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，==，于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).【评注】一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x<0的一侧有水平渐近线，而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行
3、讨论。(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是(A).(B).(C).(D). 【】【答案】应选(C).【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).【评注1】本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为
4、0，因此，也为半径是1的半圆面积。可知(A)(B)(D)均不成立.【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)若存在，则f(0)=0.(B)若存在，则f(0)=0.(C)若存在，则存在.(D)若存在，则存在【】【答案】应选(D).【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.
5、若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D).事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导。(5)设函数f(x)在上具有二阶导数，且令,则下列结论正确的是：(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散.(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散. 【】【答案】应选(D).【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C);设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B);又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排
6、除(A).故应选(D).【评注】也可直接证明(D)为正确选项.若，则存在，使得.在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得,又因为在上因此在上单调增加，于是对有.在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得,即故应选(D).(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A).(B).(C).(D). 【】【答案】应选(B).【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设M、N点的坐标分别为.先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
7、;;;.故正确选项为(B).【评注】对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.(7)设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A).(B).(C).(D).【】【答案】应选(A).【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系，即(A)中3个向量组有线性相关,所以选(A).【详解2】用定义进行判定:令，得.因线性无关，所以又，故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.(8)设矩阵,,则A与B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似
8、.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.【】【答案】应选(B).【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1，从而A与B不相似.又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(B).【评注】1)若A与B相似,则
9、A
10、=
11、B
12、；r(A)=r(B)；tr(A)=tr(B);A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵,则A与B合同Ûr
