基于最小二乘法的单摆实验数据处理.pdf

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1、●2015年2月安庆师范学院学报(自然科学版)Feb．2O15VOI．2lNo．1第2l卷第1期JournalofAnqlngTeachemColage(NaturalScienceEdition)DOI：IO．13757／j．caki．cn34—1150／n．2015．O1．039基于最小二乘法的单摆实验数据处理王鹏，刁山菊，张季谦(I．江苏省句容市第三中学，江苏句容212400；2．安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000)摘要：结合单摆实验实测数据，运用origin作图软件建立数学模型和相关系数检验，采用最小二乘法计算南京地区的重力加速度，并与平均值法与逐差法进行数据处理比

2、较。实验计算结果表明，利用最小二乘法计算重力加速度准确可靠，误差仅为0．028％。上述方法也可很好地应用于基础物理实验中其它线性关系变量试验数据的分析与处理过程。关键词：最小二乘法；单摆实验；重力加速度；线性拟合中圈分类号：o322文献标识码：A文章编号：1007-4260(2015)Ol一0136一o4重力加速度的测量是基础物理实验中一个重作沿着这一直线。设小球的质量为m，其摆长为要的力学实验¨’。近年来，一些物理实验教学L,4、球的位移为，则sin00=--f。摆球所受的工作者已经对此实验进行了深入的研究，包括实验装置的改进与智能化-3“j、实验方法的优化与合力一ragsin0=一詈=m

3、。，即口=一g詈。同创新l9、数据的信息化处理']与误差分析¨6．¨等。然而，目前关于利用最d"--乘法原理时，单摆作简谐振动的动力学方程为警+∞处理单摆实验数据，计算重力加速度的研究未见报道。基于单摆实验实测数据，运用Origin作图=0，则n=一=一g2-，即=√詈。软件建立数学模型和相关系数检验L1，采用最小二乘法的线性拟合计算南京地区的重力加速度，并与平均值法与逐差法进行数据处理比较。1实验原理1．1单摆模型一根不可伸长且质量不计的细线下端悬挂一个小球，上端固定。当小球的直径远小于细线的长度时，可把小球看作是一个质点。如果把悬挂的小球自平衡位置拉至一边保持摆角0<5。，小球可图1单摆

4、的受力分析示意图在平衡位置附近作周期性摆动，即简谐振动。这种因此，单摆的运动周期=，重装置称为单摆，如图1所示。当摆角0<5。时，圆弧可近似看成直线，摆球力加速度g=47rL=4仃N2L，其中，t为单摆连所受的重力G和绳子张力的合力即可近似地看十收稿日期：2014—03—17基金项目：国家自然科研基金理论物理专款项目(11047017)和安徽省自然科研基金(090413099)。作者简介：王鹏，男，安徽六安人，安徽师范大学物理与电子信息学院理学硕士，江苏省句容市第三中学一级教师，主要从事中学物理教学与研究。通讯作者：张季谦，男，安徽太湖人，博士，安徽师范大学物理与电子信息学院教授，主要从事理

5、论生物物理、复杂体系非线性动力学、理论物理等方面的研究工作。第1期王鹏，刁山菊，张季谦：基于最小二乘法的单摆实验数据处理·137·续摆动Ⅳ个周期所用时间，即t=NT。切程度，以及拟合所得的线性方程的可靠程度。的计算公式如下9]1．2最小二乘法原理∑(一)()，一)已知两变量为线性关系Y=kx+b，实验获得i=1—==二=二======_—二二=======(L3j)其17,组含有误差的数据(，Y)。若将这n组数据代人方程求解，则k，6之值无确定解。最小二乘√(√,Xl(y法提供了一个求解的方法，其基本思想是拟合出其中，的值在一1～+1之间。的绝对值越接一条“最接近”这个点的直线。在这条拟合的

6、直近1，表明(，Y)相互联系越密切，线性方程的线上，各点相应的Y值与测量值对应纵坐标值之可靠程度越高，线性越好。偏差的平方和最小。根据统计理论，参数k和b计2最小二乘法拟合单摆实测数据算公式当单摆的线长从50till以10em为步长增加∑xiy一(∑xi)(∑Yi)到120cm时，分别测量出每根摆线长对应的单摆k=L———L一(1)摆动时间。其中，基于计算简便，本实验的有效摆凡(∑)一(∑Xi)‘I1l长直接采用摆线长，没有再加上小球的半径D／2。同时，注意保证摆球速度方向和重力方向的(∑)(∑Yi)一(∑i)(∑xiY)b=生—÷——{—L(2)共面，防止出现圆锥摆运动。为了减小计时误差，

7、(∑)一(∑)单摆周期测量采用平衡位置开始计时，且多周期测量取平均值。每次摆动测量取N=40个周期1．3相关系数，实验数据如表1所示。相关系数表示数据(，Y)相互联系的密表1摆角时单摆线长与单摆摆动时间t首先分别以t和为横坐标和纵坐标，其满足线性函数关系L=gt。。对上述8组数据-t"TJ』v(t，L)进行线性回归分析，利用Origin作图软件建立数学线性模型，即散点图，如图2所示。鲁从图中可以看出，这些散点