弹性力学变分原理.ppt

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1、2021/8/101第十一章弹性力学的变分原理问题的引入弹性力学问题的两种基本解法1、建立偏微分方程边界条件（直接法）2、建立变分方程（泛函的极值条件）优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函多为能量,是标量,应用方便。§11—1变分法的预备知识数学上的变分法：求解泛函的极值方法弹性力学中的变分法：以能量为泛函，求能量泛函的极值方法，又称能量法。严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含义更广。关于变分法的若干基本概念：一、函数与泛函1、函数函数是实数空间到实数空间的映射2、泛函是函数空间

2、到实数空间的映射例：设ｘｙ面内有给定的两点Ａ和Ｂ，如图所示，连接这两点的任一曲线的长度为显然长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数y(x)的形式。因此，长度Ｌ就是函数y(x)的泛函。在一般的情况下，泛函具有如下的形式二、函数的微分与变分1、自变量的微分dx2、函数的微分3、函数的变分注意到：与(*)式比较，可见：即：结论：导数的变分等于变分的导数，或变分记号与求导记号可以互换。三、泛函的变分一般情况下，泛函可写为：1、按照泰勒级数展开法则，被积函数f的增量可以写成上式中,右边的前两项是f的增量的主部，定义为f的一阶变分，表示为2、再考察定义:泛函I的变分结论：变分运算和积分运算可以

3、交换次序与上式比较，可得：四、泛函的驻值与极值1、函数的驻值和极值如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即y(x)－y(x0)≤０或≥０则称函数y(x)在x＝x０处达到极大值或极小值。极值的必要条件为极值必是驻值，但驻值不一定是极值。取极值的必要条件为，其充分条件由二阶导数来判定2、泛函的驻值和极值其中：五、欧拉方程与自然边界条件因为取驻值，所以为欧拉方程，可见上述泛函的驻值问题等同于欧拉微分方程边值问题的解。如果问题是：自变函数事先满足的边界条件称为本质边界条件。§11—2应变能与余应变能1.应变能:物体因变形储存的能量。功和能的关系：可逆过程外

4、力做功动能、应变能不可逆过程热能、声能在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。分析：从A状态到B状态外荷载做功的增量：弹性体应变能增量:对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律：微元体在某一应变状态获得的应变能增量为其中，为弹性体变形过程中的位移增量。利用高斯公式得：考虑到应力张量的对称性，有定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能密度)为与前式有：得比较比较:此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。由于弹性体的

5、应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有在状态的应变能密度为、为0~、的某个中间状态。弹性体应变能是状态函数，故上式积分与路径无关。对于线性问题，可假设在变形过程中应力、应变分量等比例增长。2.余应变能、余应变能密度对于单向拉伸问题应变能密度为引入另一标量函数：即余应变能密度。余应变能一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系对于线弹性体§11—3广义虚功原理1、真实位移、真实应力和真实应变即几何连续条件即平衡条件它们构成弹性力学问题的解。2、容许位移、容许应变只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力状态，即与对应的应力不一定满足平衡条件；而真实位移

6、必对应一个平衡的应力状态。容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。比较3、容许应力比较与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。4、虚位移、虚应变弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的微小位移，记为5、虚应力弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微小应力状态.但在位移边界上引起一个容许的面力6、广义虚功原理外力在容许位移上所做的功等于容许应力在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内

7、力虚功。证明：移项后说明：1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件下，适用于任何材料。2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间得关系由其中任两个条件可得第三个。由（b）、（c)(a)表述为：若有一组内外力，对于任意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立，则这组内外力是平衡的。证明：因为广义虚功原理由（a）、（c