《梁的横向振动》PPT课件.ppt

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1、★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。★以y(x，t)表示梁的横向位移，它是截面位置x和时间t的二元函数；以f(x,t)表示作用于梁上的单位长度的横向力。★系统的参数：单位体积质量(x)，横截面积A(x)，弯曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于x和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。3.4梁的弯曲振动假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。★取微段dx，如图所示，用Q(x

2、,t)表示剪切力，M(x,t)表示弯矩。★在铅直y方向的运动方程为上式简化为略去dx的二次项，上式简化为代入运动微分方程得在整个区间(0xL)中，都满足上式关系。忽略截面转动的影响，微段的转动方程为由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式★梁横向振动的偏微分方程该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程上述方程的解对空间和时间是分离的，令★同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间t的微分方程为上述方程的通解为简谐函数式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。★

3、同样可以得关于空间变量x的微分方程为★通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。★振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。常见的边界条件(1)固定端：位移和转角等于零，即(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即(x=0或x=L)(x=0或x=L)(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即(x=0或x=L)★对位移和转角的限制属于几何边界条件；对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。用位移二元函数y(x,t)表示的边界条件！用振型函数Y(x)表示的边界条件！(1)固定端：位移和转角等于零，即(x=0或x=L)(2

4、)铰支端：位移和弯矩等于零，即(x=0或x=L)(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即(x=0或x=L)用振型函数表示的边界条件将方程代入上述各边界条件，则边界条件可以用振型函数表示。该方程为四阶常系数线性常微分方程。若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。代入振型微分方程，得特征方程振型方程可以简化为设其解为式中()()0dd444=-xYxxYb振型方程的简化四个特征根为因为将上述解改写为这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为积分常数，可以用四个边界条件来确定

5、其中三个积分常数(或四个常数的相对比值)及导出特征方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率和振型函数Y(x)。振型微分方程()()0dd444=-xYxxYb的通解注：常用的双曲函数公式有等截面均质梁的固有振动为或者写为式中有C1,C2,C3,C4,和六个待定常数。因为梁每个端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振动初始条件恰好可以决定六个未知数。★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。1、简支梁简支梁的边界条件为将第一组边界条件代入下式两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。将第二

6、组边界条件代入下式两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：它的根为由此得特征值为★因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一地确定幅值的大小，故其表达式无需带常数因子，则振型函数表为固有频率为因相应的振型函数为2、固支梁固支梁的边界条件为将第一组边界条件代入下式故有C2=-C4，C1=-C3C2+C4=0，C1+C3=0将第二组边界条件代入下式若上式对C3和C4有非零解，它的系数行列式必须为零C2=-C4C1=-C3★简化后得特征方程求特征方程的根=0是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。应用数值解法

7、求得这一超越方程最低几个特征根为固定梁的前几个特征根值★对应于r2的各个特征根，特征根可近似地表示为梁的固有频率为因把C1=-C3和C2=-C4代入如下振型函数振型函数简化为★C3/C4由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出整理得振型函数显然，常数C4取不同的值并不影响振动形态，因此可取C4=1，振型函数为振型函数及其各阶导数3、悬臂梁悬臂梁的边界条件为将第一组边界条件代入上式，有C2+C4=0，C1+C3=0C2=-C4，C1=-C3这是关于C3和C4的线性代数方程组，具有非零解的条件为上式经展开并化简后得频率方程为这就是悬臂梁弯曲振动

8、的特征方程。利用上式结果，并把第二组边界条件代入振型函数的第二阶和第三阶导数式，得★由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上式改写成★以L为横坐标，作出co