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《微积分学()综合练习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、软件学院2013级《高等数学》（下）综合练习一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法。1、求在点(0,1)的偏导数。错解：不存在不存在2、求，求。错解：因为,所以应该用下面的表达式，即z=x+y,依照多元偏导就是一元导数的知识，有3、设z=f(x,y)且，求f(x,y)。错解：由题设知故和又由于上式应恒等，所以即x=-y，因此4、设L为上点A到B的逆时针的一段弧，求曲线积分。错解：令，则可以验证故曲线积分与路径无关。从A到B的直线方程为所以，5、判断的敛散性。错解：因为(n>1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛。6、判断级数的敛散性解：
2、记，则不存在由于极限不存在，所以极级数发散。7、求幂级数的收敛域错解：因为所以级数的收敛半径为+，故收敛域为（-，+）二、解下列微分方程1、2、（应用和角公式展开）3、，4、（令u=xy）5、（令x+y=u），6、（化为：）7、（令）8、三、求解下列微分方程的应用问题1、设f(x)在[1,+∞)上连续，若y=f(x)、x=1,x=t(>1)所围图形绕x轴旋转的体积为，试求y=f(x)所应满足的微分方程，并求y(2)=2/9的解。2、若某二阶常系数线性齐次方程的特征方程的一个根为，写出该方程并解方程3、已知为某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求解该方程
3、。4、一质量为m的物体在粘性液体中由静止自由下落，若阻力与运动速度成反比（比例常数为k），求运动规律。提示：因且5、设y=y(x)满足，求6、已知均为的解，求其通解。7、y=x为的解，求通解。四、求解下列偏导数（微分）问题1、设，且f具有一阶连续偏导。证明：2、设f(x,y)可微，且，求3、设由方程所确定。求zx,zy.4、设z=f(u)，而方程确定了u是x,y的函数，其中均可微，p(t)连续，且，求5、求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点切线方向上的方向导数。6、设f,g连续可导，且，求7、设，其中f二阶连偏，求8、设方
4、程确定了隐函数z=g(x,y)。证明：曲面z=g(x,y)上任一点M(x,y,z)处的切平面在oz轴上的截距与切点到原点的距离之比为定值。9、求在闭区域上的最值。五、求解下列积分问题：1、计算积分，其中2、设函数f(x)在[0,1]上连续，且，求3、求平面z=x-y,z=0与柱面x2+y2=ax所围成的体积(a>0)。4、一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xOy坐标为底，在xOy面上的投影为{(x,y)
5、x2+y2≥1}和{(x,y)
6、x2+y2≤2x}在第一象限的公共部分。求柱体的体积。5、计算曲面积分，其中，S是球面x2+y2+z2=4在平面
7、z=1上方的球冠。6、设L为正向的圆周x2+y2=9，求曲线积分7、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0和x=2所围成的图形的面积最小。8、求曲线与直线x=1,x=2,y=0所围图形分别绕x轴和y轴所成的体积。9、求曲线自原点（0，0）到它右边第一条垂直切线的切点间的的孤长。（提示：分别求出原点和切点对应的参数t的值）。10、（绝对值函数积分问题的处理）由及z=1所围的空间体中分布有密度为的质量，求总质量。11、求，其中12、（由积分限定积分区域）求13、求，其中是两球和的公共部分14、计算，其中D的左右边界分别为与（利用对称性和齐偶性）解
8、：D关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，所以15、设f(x)在区间[0,1]上连续，并设，求J=解：记，则，于是16、若，f(x,y)为D上的连续函数，求17、计算（交换积分次序）18、计算，其中L为球面与平面x+y+z=0之交线。（利用对称性，在计算积分问题时，对称性、奇偶性是首先要考虑的！）19、求，其中L为摆线（纯定义法）20、求，其中L为柱面与平面z=y的交线。(挖掘参数方程）(L的参数方程为x=Rcost,y=Rsint,z=Rsint())21、计算，其中L是：（1）先沿直线从A(1,1)到B(1,2)，再沿直线到C(4,2)（2）抛物
9、线x=y2上从A(1,1)到C(4,2)22、计算，其中L是曲线从z轴正向看去的顺时针方向。（曲线的参数方程）(曲线L的参数方程为)23、求，其中L为正向圆周曲线x2+y2=a2.(Green公式)24、求，其中L为沿抛物线由点A(-1,0)到B(1,0)的弧。（凑Green公式，且注意避开暇点）25、求，其中L为由点A(-1,1)沿抛物线y=x2到O(0,0)，再沿直线到B(2,0).（部分利用与路径无关）注：，其中I2与路径无关。26、求球面被平面所夹部分的面积。27、求，其中是球面28、求，V由曲面，z=0，y=0,x=0所围成六、判断下列级数的
10、敛散性1、。提示：加括号2、；3、；（）4、；5、6、（比值法时极限为1，但是从大于1的一侧趋
