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1、;.《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩题号一二三总分分数.一、填空（每格3分，共30分）1、方程M(x,y)dxN(,x)ydyx有关的积分因子的充要条件有只与是。2、若x1(t),x2(t),,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。3、若(t)和(t)都是x'A(t)x的基解矩阵，则(t)和(t)具有的关系是_____________________________。4、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果。5、当时，方程M(x,y)dxN(x,y)d
2、y0称为恰当方程，或称全微分方程。6、若(t)是xA(t)x的基解矩阵，则xA(t)xf(t)满足x(t0)的解。7、若xi(t)(i1,2,,n)为n阶齐线性方程x(n)a1(t)x(n)an(t)x0的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。8、求dy=f(x,y)满足y(x0)y0的解等价于求积分方程的解。dxdy9、如果f(x,y)在R上且关于y满足李普希兹条件，则方程f(x,y)存在唯一dx的解y(x)，定义于区间xx0h上，连续且满足初始条件(x0)y0，其中h，Mmaxf(x,y)。(x,y)R;
3、.';.得分二、计算题(每题10分,共50分)dy1y210、求方程xy的解。dxx2y11、求方程dyxy2通过点(1,0)的第二次近似解。dx12、求非齐线性方程xxsint的特解。13、求解恰当方程(y3x2)dx(4yx)dy0。14、求伯努利方程dy6yxy2的通解。dxx得分三、证明.（20分）21x，(0)1的解为:15、1)试验证初值问题x412(t)e3t1t(12);2t(12)2）求该微分方程组的expAt。试卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有
4、只与x有关的积分因子的充要条件MNyx(x)。是N2、若x1(t),x2(t),,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是w[x(t),x(t),,x(t)]0。12n;.';.3、若(t)和(t)都是x'A(t)x的基解矩阵，则(t)和(t)具有的关系是(t)(t)C，(atb)C为非奇异常数矩阵。4、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数Ｌ>0，对于所有(x1,y1),(x2,y2)R都有使得不等式f(x1,y1)f(x2,y2)Ly1y2成立。5、当MN时，方
5、程M(x,y)dxN(x,y)dy0称为恰当方程，或称全微分方程。yx6、若(t)是xA(t)x的基解矩阵，则xA(t)xf(t)满足x(t0)的解x(t)(t)1(t0)(t)t1(s)f(s)ds。t07、若xi()(i1,2,,n)为n阶齐线性方程x(n)a(t)x(n)a(t)x0的n个线性无关解，t1n()n()，其中cc则这一齐线性方程的通解可表为2,,c是任意常数。xtcixit1,ni18、求dy=f(x,y)满足y(x0)xy0的解等价于求积分方程y=y0+f(x,y)dx的解。dxx09、如果f(
6、x,y)在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程dyf(x,y)存在唯一的dx解y(x)，定义于区间xx0h上，连续且满足初始条件(x0)y0，其中hmin(a,b)，Mmaxf(x,y)。M(x,y)R二、计算题(每题10分,共50分)dy1y2的解。10、求方程xyx2ydxdy1y2解：原式可化为dxy(xx2)分离变量得ydydxy2x(1x)1;.';.两边积分后1ln1y2lnxln1xc12y2)(1x)2cx2即(1故原方程的通解为(1y2)(1x2)cx211、求方程dyxy2通过点(1,0)的第
7、二次近似解。dx解：令0(x)01x2则1(x)y0(xy02)dxxdx1xx11222(x)y0x[x12(x)]dx[x(1x21)2]dx1x21x51x31x11x1122220643012、求非齐线性方程xxsint的特解。解：线性方程xx0的特征方程210，故特征根i。又f(t)sint，i是特征单根，所以原方程有特解xt(AcostBsint)，将其代入原方程得A1x1tcost。，B=0。故原方程的特解为2213、求解恰当方程(y3x2)dx(4yx)dy0。解：M1，N1.yx则MN.yx所以此方
8、程为恰当方程。凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0得x3xy2y2C14、求伯努利方程dy6yxy2的通解。dxx,算得dzy2dy解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=y1dxdx;.';.代入原方程得到dz6zx，这是线性方程，求得它的通解为z=cx2dxxx68带回原来的变量y，得到1=cx2或者x6x8c，这就是原方程的解。yx68
