数列与不等式综合题(师).doc

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1、高中数学复习系列---数列综合训练二（数列与不等式综合）1.已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.解(1)由得：即，求得（2）由知，两边同除以，得（3），将代入，得；㈠而，㈡由㈠㈡知，命题成立.2.设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。又易知单调递增，故，得(3)由得=……13分由，得n=1005,即存在满足条件的自然数

2、n=1005.3.已知数列中，，当时，其前项和满足，（1）求的表达式及的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：当且时，。解：（1）所以是等差数列。则。。（2）当时，，综上，。（3）令，当时，有等价于求证。当时，令，则在递增。又，所以即4.数列：满足(Ⅰ)设，求证是等比数列；(Ⅱ)求数列的通项公式;（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:解：(Ⅰ)由得　　　　，即　，是以２为公比的等比数列　　　　　　(Ⅱ)又　　　　　　　　　　即，　　　　　　　　　　　　故　　　　　　　　（Ⅲ）　　　又5.已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an

3、－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当k为奇数时，；（Ⅲ）求证：得=2或=－3当=2时，可得为首项是，公比为3的等比数列，则①当=－3时，为首项是，公比为－2的等比数列，∴②①－②得，（注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（Ⅱ）当k为奇数时，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，①当n为偶数时，②当n为奇数时，=6.已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.解：（1），∴当时，.当≥2时，=，∴此时··=·，∴……=……+设……

4、+，∴……，∴∴·　　……6分（2）由可得①当时，由，可得∴对一切都成立，∴此时的解为.　②当时，由可得≥∴对一切都成立，∴此时的解为.由①，②可知对一切，都有的的取值范围是或.　7.已知等比数列的前项和为（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，为数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由得:时，是等比数列，，得（Ⅱ）由和得……10分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有综上：当时有；当时有8.已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.解：（1），由数列

5、的递推公式得，，（2）===数列为公差是的等差数列.由题意，令，得（3）由（2）知，所以此时==，=>