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1、二项式定理二项式展开的通项复习旧知第项性质复习性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.性质2:如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；性质3：性质4:(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.题型一利用的二项展开式解题解法1例1求的展开式直接用二项式定理展开题型一利用的二项展开式解题例1求的展开式解法2化简后再展开例题2若,则的值()A一定为奇数C一定为偶数B与n的奇偶性相反D与n的奇偶性相同解:所以为奇数故选(A)思考能用特殊值法吗?偶偶奇A熟记二项式
2、定理,是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时先化简再展开更便于计算.例题点评题型二利用通项求符合要求的项或项的系数例3求展开式中的有理项解:令原式的有理项为:例4(04全国卷)的展开式中的系数为__________解:设第项为所求的系数为分析：第k+1项的二项式系数---第k+1项的系数--具体数值的积。解：求二项展开式的某一项,或者求满足某种条件的项,或者求某种性质的项,如含有x项的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项式的通项求解.注意(1)二项式系数与系数的区别.(2)表示第项.3例题点评题型三求多项式的展开式中特定的项(系数)例6的展开式中,
3、的系数等于___________解:仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是解法2运用等比数列求和公式得在的展开式中,含有项的系数为所以的系数为-20求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量例题点评题型四求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的系数)例题8:求的展开式中项的系数.解的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以的系数为:例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算题型五三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107展开式中的常
4、数项求例8)11(9xx++解：原式化为其通项公式为例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.的 系数.的展开式中例10求xxx52)23(++题型六求展开式中系数最大(小)的项解:设项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在例，x20)32(11+例12在的展开式中，系数绝对值最大的项解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则所以当时，系数绝对值最大的项为例13求的展开式中数值最大的项解：设第项是是数值最大的项展开式中数值最大的项是解决系数
5、最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有由此确定r的取值例题点评题型七二项式定理的逆用例14计算并求值解(1):将原式变形题型七二项式定理的逆用例14计算并求值解:(2)原式例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用题型八 求展开式中各项系数和解：设展开式各项系数和为1例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=∴=（2-1）n=1例15.的展开式的各项系数和为____题型九 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1)(2)题型九 求奇数(
6、次)项偶数(次)项系数的和所以（3）例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值题型十整除或余数问题例18解:前面各项均能被100整除.只有不能被100整除余数为正整数注意整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项，再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数例题点评题型11证明恒等式析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解两式相加例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法,证明等式常用下面的等式例2
7、0．证明：证明通项所以题型12证明不等式例题点评利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩题型13近似计算例21.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_____(精确到0.001)解:依题意有2(1+0.2%)100所以100天后这家公司的股票指数约为2.44点评：近似计算常常利用二项式定理估算前几项巩固练习一选择题1(04福建)已知展开式的常数项是1120,其中实数是常数,则展开式中各项系数的和是()C2若展开式中含项的系数与含项的系数之比
