2014届高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析).doc

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1、第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零

7、点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象特点①对称轴：x＝－；　②顶点：性质定义域x∈R值域y∈＋∞y∈奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈－∞，时递减，x∈－，＋∞时递增x∈时递增，x∈时递减[小题能否全取]1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝x2－1　　　　　　　B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2解析：选D　形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈，则使函数

8、y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析：选A　在函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　由题意知即得a>.4．(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝α，得α＝－2.故y＝x－2.答案：y＝x－25．如

9、果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由题意知得则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：5　　1.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立

10、的充要条件是[注意]　当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1]　已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.[自主解答]　∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1.[答案]　－1由题悟法1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同

11、而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(　　)A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－

12、1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1解析：选B　由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是(　　)A．2a>a>(0.2)a　　　　B．(0.2)a>a>2aC.a>(0.2)a>2aD．2a>(0.2)a>a解析：选B　若a<0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>a>0.所以(0.2)a>a>2a.求二次函数的解析式典题导入[例2]　已知二次函

13、数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．[自主解答]　(1)由于f(x)有两个零点0