第6章 线性方程组的迭代解法ppt课件.ppt

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1、第六章线性方程组的迭代解法§1向量和矩阵的范数1.1向量的范数1.2矩阵的范数§2迭代解法与收敛性2.1迭代法的构造2.2迭代法的收敛性条件§3常用的三种迭代解法2.1Jacobi迭代法2.2Gauss-Seidel迭代法2.2超松弛(SOR)迭代法9/3/20211第六章线性方程组的迭代解法§1向量和矩阵的范数一、向量的范数为了对线性方程组数值解的精确程度，以及方程组本身的性态进行分析，需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵的范数在线性方程组数值方法的研究中起着重要的作用。定义6.1设

2、

3、·

4、

5、是向量空间Rn上的实值函

6、数，且满足条件求解线性方程组的数值解除了使用直接解法，迭代解法也是经常采用的一种方法，这种方法更有利于编程计算，本章将介绍这种方法。9/3/20212第六章线性方程组的迭代解法则称

7、

8、·

9、

10、为Rn空间上的范数，

11、

12、x

13、

14、为向量x的范数。理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下三种。（2）齐次性：对任何实数和向量x

15、

16、αx

17、

18、＝

19、α

20、

21、

22、x

23、

24、（3）三角不等式：对任何向量x和y，都有

25、

26、x＋y

27、

28、≤

29、

30、x

31、

32、＋

33、

34、y

35、

36、设向量x＝（x1，x2，…，xn）T，定义（1）非负性：对任何向量x，

37、

38、x

39、

40、≥0，且

41、

42、x

43、

44、＝0当且仅当x＝0可引进极限9/3

45、/20213第六章线性方程组的迭代解法向量1-范数：向量2-范数：向量∞-范数：容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。例6.1设x＝（1，－3，2，0）T，求向量范数

46、

47、x

48、

49、p，P＝1，2，∞。欧氏范数最大范数9/3/20214第六章线性方程组的迭代解法解:对于向量x＝(1，－3，2，0)T，根据定义可以计算出：

50、

51、x

52、

53、1＝

54、1

55、＋

56、－3

57、＋

58、2

59、＋

60、0

61、＝6由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如下等价关系。9/3/20215第六章线性方程组的迭代解法定理6.1（范数的等价性）对于

62、Rn上任何两种范数

63、

64、·

65、

66、α和

67、

68、·

69、

70、β，存在着正常数m，M，使得：范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明，常用的三种向量范数满足下述等价关系。

71、

72、x

73、

74、∞≤

75、

76、x

77、

78、1≤n

79、

80、x

81、

82、∞

83、

84、x

85、

86、∞≤

87、

88、x

89、

90、2≤

91、

92、x

93、

94、∞

95、

96、x

97、

98、2≤

99、

100、x

101、

102、1≤n

103、

104、x

105、

106、2例如：Rn上一切范数都等价。9/3/20216第六章线性方程组的迭代解法定义6.2对于向量序列向量序列{x(k)}收敛于向量x*，当且仅当它的每一个分量序列收敛于xi*的对应分量，即及向量如果则称向量序列x(k)收敛于向量x*。记作或

107、收敛与取哪种范数无关9/3/20217第六章线性方程组的迭代解法二、矩阵的范数矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。定义6.3设

108、

109、·

110、

111、是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足条件：（1）

112、

113、A

114、

115、≥0，且

116、

117、A

118、

119、＝0时，当且仅当A＝0（2）

120、

121、αA

122、

123、＝

124、α

125、

126、

127、A

128、

129、，α∈R（3）

130、

131、A＋B

132、

133、≤

134、

135、A

136、

137、＋

138、

139、B

140、

141、（4）

142、

143、AB

144、

145、≤

146、

147、A

148、

149、

150、

151、B

152、

153、则称

154、

155、A

156、

157、为矩阵A的范数。可定义矩阵极限9/3/20218第六章线性方程组的迭代解法设n阶矩阵A＝（aij），常用的矩阵范数有：矩阵1-范数：矩阵2-范数：矩阵∞-范数：以上三种

158、范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种矩阵范数统一表示为

159、

160、A

161、

162、p，P＝1，2，∞。列和行和谱范数.不好算理论上重要9/3/20219第六章线性方程组的迭代解法例6.2设矩阵求矩阵A的范数

163、

164、A

165、

166、p，P＝1，2，∞。解根据定义由于则它的特征方程为:9/3/202110第六章线性方程组的迭代解法此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得因此在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分析带来许多方便。设

167、

168、·

169、

170、是一种向量范数，由此范数派生的矩阵范数定义为注意，此式左端

171、

172、A

173、

174、表示矩阵范数，而右端是向量Ax

175、和x的范数，利用向量范数所具有的性质不难验证，由上式定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。9/3/202111第六章线性方程组的迭代解法通常将满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范数(也称为A的算子范数)。可以证明，前述的三种矩阵范数

176、

177、A

178、

179、p，P＝1，2，∞，就是由向量范数

180、

181、x

182、

183、p派生出的矩阵范数，即通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：均为相容范数，即可以证明,对方阵和有:(向量2-范数直接推广)Frobenius范数:9/3/202112第六章线性方程组的迭代解法三、矩阵的谱半径矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设λ是矩阵A相应于

184、特征向量x的特征值，即Ax＝λx,于是利用向量-矩阵范数的相容性，得到

185、λ

186、

187、

188、