第2章 线性方程组的迭代解法.ppt

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1、第二章线性方程组的迭代解法第二节迭代法的收敛性第三节超松弛迭代法第一节基本迭代方法1§1基本迭代方法一、问题的提出1．直接方法的缺陷(以Gauss消去法为代表)：对于低中阶数（n≤100）的线性方程组十分有效，但n很大时，特别是由某些微分方程数值解所提出来的线性方程组，由于舍入误差的积累以及计算机的存贮困难，直接方法却无能为力。2．解决方法：（利用迭代方法）迭代方法：把线性方程组的数值求解问题化为一个迭代序列来实现。2具体做法(2)取任意初始向量x(0)构成迭代序列:由于迭代方法能避免系数矩阵中零元的存贮与计算，特别适用于解系数矩阵阶数很高而非零

2、元极少（即大型稀疏）的线性方程组。3迭代格式：定义：迭代矩阵：迭代过程收敛：若序列{x(k)}极限存在，称此迭代过程收敛，否则称为发散。迭代法计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵/*sparsematrices*/的方程组。4迭代法要解决的主要问题如下：1.如何构造迭代格式？2.构造的格式所产生的序列在什么情况下收敛？3.如果收敛，收敛的速率如何？4.近似解的误差估计。迭代方程迭代格式方程迭代初值收敛如何构造迭代方程5二、Jacobi（雅可比）迭代法建立迭代格式：可以缩写为：按此格式迭代求解的方法称为雅可比迭代法,简称J法。6例1用雅可

3、比迭代法解线性方程组解生成雅可比迭代格式：kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.830.8420.9711.071.15……………….……111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997从上表可以看出，迭代序列收敛于x*，若取x(12)作为近似解，则误差不超过10-57写成矩阵形式：BJacobi迭代阵，简记为BJ8三、Gauss–Seidel（高斯—塞德尔）迭代法…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵，简记为BGS9Gauss-Seidel迭代法的分量形式为：例2分

4、别给出以下线性方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式：解原方程等价于10建立Jacobi迭代格式如下建立Gauss-Seidel迭代格式如下11例312Jacobi迭代算法A=[9-1-1;-110-1;-1-115];b=[7;8;13];x=[0;0;0];er=1;k=0;whileer>0.00005er=0;k=k+1;fori=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=t;y(i)=(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-y

5、(i)),er);endx=y;x'end0.77780.80000.86670.96300.96440.97190.99290.99350.99520.99870.99880.99910.99980.99980.99981.00001.00001.00001.00001.00001.000013Gauss-Seidel迭代算法A=[9-1-1;-110-1;-1-115];b=[7;8;13];x=[0;0;0];er=1;k=0;whileer>0.00005er=0;k=k+1;fori=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=

6、1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);endx'end0.77780.87780.97700.98390.99610.99870.99940.99980.99991.00001.00001.00001.00001.00001.000014例4用高斯-塞德尔迭代法求解例1中的方程组建立Gauss-Seidel迭代格式解迭代8次可得在本例中Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快。这个结论在多数情况下成立，但高斯-塞德尔的收敛更快是有条件的。

7、注：两种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。15§2迭代法的收敛性的收敛条件迭代法收敛的充要条件:定理一、一般迭代法的收敛性16例5设方程组的系数矩阵为判别Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代是否收敛。解Jacobi迭代矩阵为17所以，Jacobi迭代法发散。高斯-塞德尔迭代矩阵为所以，高斯-塞德尔迭代法收敛。困难：具体问题中，很难计算。18证明：①②迭代法的误差估计定理：设x*是方程组Ax=b的同解方程x=Bx+

8、f的准确解，若迭代公式中迭代矩阵B的某种范数，则有19①上述定理只是判别迭代格式收敛的充分条件，但若，则不能下结论说迭代法发散，只能用进