第4讲 半群和群的定义和性质ppt课件.ppt

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1、第十章群与环-半群和群的定义和性质主要内容半群独异点群2021/7/272半群定义10.1(1)：是一个代数系统，其中S是非空集合，∘是S上的一个二元运算(运算∘是封闭的)，如果运算∘是可结合的，即对任意的x,y,z∈S，满足(x∘y)∘z=x∘(y∘z)则称代数系统为半群.2021/7/273例10.1,,,,,为半群设n>2,,为半群,,为半群A={a1,a2,...,an},n∈Z+,*为

2、A上的二元运算,∀a,b∈A有ai*aj=ai,则A关于*运算构成半群Sk={x

3、x∈Z∧x≥k}，为半群，不是半群2021/7/274例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,“·”为字符串的连接运算.则<Σ+,·>做成半群。2021/7/275独异点定义10.1(2)：设是一个半群，若存在eS为S中关于运算∘的单位元,则称为幺半群，也叫做独异点。(有时也把单位元标明)2021/7/276例10.1Sk={x

4、x∈Z∧x≥k}，(k>0)？？不是独

5、异点是独异点2021/7/277例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,“·”为字符串的连接运算.思考：半群<Σ+,·>是否做成独异点？空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>做成独异点2021/7/278例10.3幂集？？？2021/7/27910.4*αβγδζααβγδζββγδζαγγδζαβδδζαβγζζαβγδ是单位元可结合性在运算表中无特殊体现2021/7/2710群(Group)定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果(1).

6、运算∘是封闭的(2).运算∘是可结合的(3).存在单位元e(4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1则称是一个群11例10.1Sk={x

7、x∈Z∧x≥k}，(k>0)？？不是群不是群2021/7/2712例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,”·”为字符串的连接运算.空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>思考：独异点<Σ*,·>是否做成群？2021/7/2713例10.3幂集？？？单位元和逆元?2021/7/2714例10.4(1-2)(1)

8、整数加群(2)模n整数加群思考:是不是群?2021/7/2715例10.4(3-6)(3)n阶实矩阵加群(4)n阶实可逆矩阵乘法群；(5)所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；2021/7/2716例10.5Klein四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae2021/7/2717例10.5(2)Klein四元群G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)运算º为逐分量模2加法,2021/7/2718群的等价定义定理(等

9、价定义),∘可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a’，则G是群.证明:封闭性可结合性单位元？逆元？2021/7/2719群的等价定义证明:证e为左单位元.∀a∈G,有a∘e=a,所以有e∘e=e(e为右单位元)。设存在a’∈G,使得a∘a’=e,代入得e∘(a∘a’)=a∘a’.因为a’∈G,存在a’’∈G,使得a’∘a’’=e上式两边右乘a’’得e∘a∘a’∘a’’=a∘a’∘a’’,而a’∘a’’=e因此有e∘a=a.e是G中的单位元.证a’为a的左逆元，设a’a’’=ea’’=e∘a’’=(a∘a’)∘a’’=a∘(a

10、’∘a’’)=a∘e=a2021/7/2720群的相关术语（定义10.2）平凡群只含单位元的群{e}有限群与无限群群G的阶G的基数，通常有限群记为

11、G

12、交换群或阿贝尔（Abel）群2021/7/2721例10.6（交换群）(1)无限群;(2)模6整数加群，阶为6(3)模4整数加群，阶为4(4)Klein四元群G={e,a,b,c}，阶为4(5)群，阶为

13、P(B)

14、2021/7/27222021/7/2723n次幂定义设是一个半群，xS,nZ+,定义的x的n次幂xn为:推广到独异点2021/

15、7/2724n次幂实例在半群中,xZ,