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1、第4章车身曲线曲面的数学模型基础对于汽车、飞机及其他一些具有复杂外形的机电产品，CAD/CAM的一个关键性环节，就是用数学方法来描述它们的外形，并在此基础上建立它们的几何模型。本章介绍定义车身外形曲线和曲面的一些常用的、基本的数学方法。主要内容有：参数样条曲线及孔斯曲面、贝齐尔方法、均匀B样条曲线、非均匀B样条曲线、双三次B样条曲面、非均匀有理B样条曲线和曲面等。4.1参数样条曲线及孔斯曲面4.1.1三次样条曲线(cubicsplinecurve)数学上的样条函数是对绘图用的样条的模拟。如将样条简化为弹性细杆,必定满足欧
2、拉方程：M(x)=EIK(x)(4.1.1-1)其中M（x）是弯矩，E是杨氏系数，I是截面惯性矩，K(x)是样条的曲率。从(4.1.1-1)式出发，经数学推导可得出如下的三次样条函数表达式：（4.1.1-15)三次样条函数S(x)的本质是：一致通过型值点、二阶连续可导的分段三次多项式函数。M（二阶导数）关系式在各中间（连接）点一阶导数连续，S'(xi-0)=S'(xi+0)，即(式中:hi=xi-xi-1)各项乘以，得：令:则有Mi-1+2Mi+λiMi+1=di(i=1,2,……,n-1)(4.1.1-16)当i取值1
3、,2,…,n-1时，可得到n-1个形如(4.1.1-16)的M关系式。但未知数——二阶导数Mi却有n+1个,即M0,M1,…,Mn。要唯一定解,必须再附加两个方程。通常按实际问题的具体情况,在样条两端,即P0和Pn处给出约束条件，常用的边界条件有：常用的边界条件有：1．给定两端的斜率m0=y0′和mn=yn′以x=x0,i=1代入式(4.1.1-14)，得(4.1.1-17)以x=xn,i=n代入式(4.1.1-14)，得(4.1.1-18)式(4.1.1-16)和这两个附加方程合在一起得到有确定解的线性方程组。写成矩阵
4、形式为(4.1.1-19)。2.给定两端的二阶导数M0=y״0,Mn=yn〞这可以写成：2M0+0×M1=2y״00×Mn-1+2Mn=2y״n此时式(4.1.1-19)中的λ0=0,d0=2y0〞，μn=0,dn=2y״n。如果y״0=y״n=0,则称为自然插值三次样条函数。3.如果取λ0=-2,d0=0，μn=-2,dn=0则M0=M1,Mn-1=Mn，这就是抛物端边界条件。三次样条函数的解法（4.1.1-16)由端点条件补充两个方程后，得出如下线性方程组：（4.1.1-19)式中:可以用“追赶法”(参看附录A)求解
5、(4.1.1-19)式,解出Mi(i=1,2,…,n)代入(4.1.1-15),便可由(4.1.1-15)式计算出样条曲线上的一系列插值点。4.1.2三次参数样条曲线在大挠度情况下,三次样条函数的光顺性可能变坏。用三次样条函数表示的插值曲线,依赖于座标系的选择,不具有几何不变性。有时旋转座标轴也不可能满足小挠度条件在这些情况下,最常用的处理办法之一是将曲线参数化,即将曲线上点的座标分别用某种参数表示：(4.1.2-1)其中t为参数，常取曲线内在的量——弧长作为参数，它与坐标系无关。若将t取作弧长s，则x和y作为分量，dx
6、∕ds和dy∕ds都不会大于1，在(x,s),(y,s)平面上各构造一个三次样条函数：(4.1.2-2)曲线上的点比较密时，弦长之和近似于弧长，因此可取累加弦长作为三次参数样条曲线的参数。设给定个点Pi（xi,yi）,i=0,1,……,n,两相邻点之间的弦长为：(4.1.2-3)记:这里ti的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。在每一个节点pi都有一个确定的ti与之对应。当然pi的每一个坐标xi或yi也与ti一一对应。这就相当于给定了两组点（xi,ti）和（yi,ti）,i=0～n。对于每一组点，都可按4.1.1节所
7、述方法构造一个三次样条函数。这种曲线称为累加弦长三次参数样条曲线。在平面曲线的情况下，构造三次参数样条曲线相当于构造两遍三次样条曲线。这在工程上是经常使用的方法。4.1.3弗格森曲线下面讨论参数样条曲线中的某一段，并用端点及端点的导数来表达出这段曲线的方程。设参数为u，第i段曲线对应的参数范围为，在〔0,1〕区间上对应于两个端点型值点的函数值及一阶导数值分别为r(0),r(1),r’(0),r’(1)。则插值函数为(4.1.3-1)那么(4.1.3-2)将四个已知条件代入以上两式，可解得四个系数a0,a1,a2,a3,再
8、将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为：(4.1.3-3)式中(4.1.3-4)我们称F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)为埃尔米特(Hermite)基函数。由式(4.1.3-4)可见，F0与F1专门控制端点的函数值对曲线形态的影响，G0和G1专门控制端点的一阶导数对曲线形态的影响。或者说，F0和G0控制左
