控制系统的数学描述ppt课件.ppt

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1、数学模型如果对现实事物进行简化、抽象，用方程、公式、图表、曲线等来描述客观事物的内在规律．揭示其运动的本质，我们则称这些数学表达式、图表、曲线等是现实事物的数学模型。数学模型特点：摒弃了现实事物的具体特点而抽象出了它们的共同变化规律。因此，这类模型称为抽象棋型。控制系统的数学模型主要是指：描述控制系统及其各组成部分特性的微分方程、状态空间表达式、差分方程、传递函数、频率特性以及基于神经网络、模糊理论而建立的模型等。建立控制系统的数学模型有两种基本方法：机理建模或理论分析法系统辨识法或试验分析法建立控制系统的数

2、学模型的目的在于是分析研究控制系统的基础。描述各种客观争物内在规律最基本的数学工具是：微分方程。建立控制系统微分方程的一般过程(1)明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量；(2)全面深入细致地分析系统的工作原理、系统内部各变量间的关系。(3)如果把整个控制系统作为一个整体，组成控制系统的各元器件及装置则可以称为子系统。从输入端开始，依照各子系统所遵循的物理定律或其他规律，写出子系统的数学表达式。(4)消去中间变量，最后得到描述输入变量与输出变量关系的微分方程式。(5)写出微分方程的规范形式，

3、即所有与输出变量有关的项应在方程左边，所有与输入变量有关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。例3液位系统的数学模型。图2．3是一个液位系统。设液箱的横截面积为C(m2)。在稳定状态下，流入液箱的水和流出液箱的水流量相同．均为Q0(m3／s)，此时液箱的水位为H0(m)。当流入液箱的流入量有一增量qim3／s)时，建立水位增量h(m)的微分方程.液箱水位的变化为流出液箱的水的增量q0(m3/s)与出口阀的阻力和液箱水位有关。一般情况下，h和q0是非线性关系。假设q0较小，可以近似认为h和q0满足线性关系式中

4、R为流出阀的液阻(s／m2)，是常量,消去中间变量q0后可得到若要研究流入量qi变化对流出里q0的影响，描述二者关系的微分方程为说明:对同—个物理系统，当研究的目的不同时，所得到的数学模型是不一样的。微分方程的输入变量和输出变量是指系统中具有因果关系的变量，必须和实际系统小具体物质的流入量与流出量区别开来。目标：建立热水器出口水温受加热器加热量影响的微分方程简化问题：假设没有热量向周围环境散失加热器容器中水的温度是均匀的例4热力系统的数学模型。设热水器出口水温相对于稳定状态下的增量为θ0(K)M为热水器中水的

5、质量(kg)Cp为水的比热容(kJ／kg.K)qi为电加热器传输给水的热流量的增量(kJ/s)G为水的流量(kg/s)入口水温的变化量为θi(K)根据热量平衡关系若要考虑水入口温度的影响若要考虑更多的因素，微分方程将变得更加复杂。结论：合理假设和简化很重要过分简化,数学处理容易，但可能丢失事物的主要特征或达不到应有的准确性；若考虑的因素太多，数学模型将变得很复杂。图示一气体储罐，V1和V2为储罐前后的阀门，阀门前气体压力为Pi，阀后的气体压力为P0，试求储罐压力P与Pi及P0的微分方程。描述线性定常系统特性的

6、微分方程为方程的系数均为常数，设该系统的初始条件为零，即进行拉普拉斯变换Laplace变换传递函数的定义令即为线性定常系统传递函数的定义表达式传递函数的定义为：线性定常系统的传递函数是零初始条件下输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。补充：拉氏变换及反变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！1拉氏变换定义定义拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。Laplace变换Laplace变换是一种函数变换

7、拉普拉斯变换的定义：设函数若满足：（1）当时，（2）当时，实函数的积分在s的某一域内收敛，则定义的拉普拉斯变换为并记作，其中算子s是一复数.Laplace变换称为的像函数；称为的原函数.2.Laplace反变换记为：Laplace变换3.常用函数的拉氏变换式A）阶跃函数反变换：B）指数函数反变换：正弦函数sinωt和余弦函数cosωt的欧拉变换C）正弦函数和余弦函数根据欧拉公式可将正弦化成指数函数形式，即Laplace变换D）t的幂函数当n=1时，其它见附表Laplace变换3.Laplace变换的主要运算定

8、理A)叠加定理两个函数之和的拉氏变换等于两个函数的拉氏变换式之和.即若则或写成Laplace变换B)比例定理若则C)微分定理若则一般情况下：初始条件=0时Laplace变换D）延迟定理若，则该定理说明如果时域函数平移，则相当于复域中的像函数乘以。Laplace变换E）终值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的终值为因此，利用终值定理可以从像函数直接求出原函数在时的稳态值。说明的稳态性质同的临域