第2章数列§2.5等比数列前n项和(二).doc

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1、§2.5　等比数列前n项和(二)对点讲练一、等比数列前n项和的证明问题例1　设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：>log0.5Sn＋1.证明　设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0，当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－S＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a＝－a<0.当q≠1时，Sn＝，从而Sn·Sn＋2－S＝－＝－aqn<0.综上知，Sn·Sn＋2log0.5S.即>log0.5Sn＋1.总结　本题关键是证明Sn

2、·Sn＋2

3、∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．方法二　根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．二、等比数列前n项和的实际应用例2　为保护我国的

4、稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．(2)10年的出口总量S10＝＝10a(

5、1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤，∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．总结　本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．►变式训练2　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得a

6、n＋1＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.三、等差数列、等比数列的综合问题例3　设{an}是等差数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.解　设等差数列{an}的公差为d，则＝＝an＋1－an＝d.∴数列{bn}是等比数列，公比q＝d.∴b1b2b3＝b＝，∴b2＝.∴，解得或.当时，q2＝16，∴q＝4(

7、q＝－4<0舍去)此时，bn＝b1qn－1＝·4n－1＝22n－5.由bn＝5－2n＝an，∴an＝5－2n.当时，q2＝，∴q＝此时，bn＝b1qn－1＝2·n－1＝2n－3＝an，∴an＝2n－3.综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.总结　(1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为d，且cn＝can(c>0且c≠1)，那么数列{cn}是等比数列，公比q＝cd.(2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，且cn＝logaan(a>0且a≠1)，那么数列{cn}为等差数列，

8、公差d＝logaq.►变式训练3　在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝