2013考研数学模拟卷数三3答案.doc

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1、2013考研数学模拟试卷三【数三】解析一、选择题（1）解：首先由，得。又因为在的某邻域内有二阶连续导数，于是。其次，根据极限保号性，在的某去心邻域内必然有，即在两侧变号，于是为曲线的拐点。（2）C解：由导数的几何意义，应选（C）(3)A解：令（4）解：因为，所以，而，由夹逼定理得原极限为零。(5)D解：说法都不正确，对于(D),由相似知，（6）解：设，由已知条件有。即为方程组的非零解。由于线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，从而向量组的秩为1。（7）解：，即。(8)C解：因～，从而～，～故～，即选（C）二。、填空题（9)解：令，原方程变为方程两边对求导得再两

2、边对求导得，即由得，故（10）1解：因为，令其中，得，则（11）；解：介于与之间，即或，由夹逼定理，得（12）解：；(13)【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】解：由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为(14)解：由易得X与Y的联和分布律为YX01-1011,故三、解答题(15)解：（I）若要在处连续，必须，即故，为任意实数时，在处连续。（II）若要在处可导，则必须在处连续（），且所以所以，时，在处可导（16）解：，切线方程为，与轴的交点坐标为。切线旋转后的旋转体体积为，曲线转转后的旋转体的体积为。此容器的质量为。容器内表面积为。

3、（17）解：（1）令，则。（2）。，。因为，所以单调增加。又因为，所以存在唯一的，使得。当时，；当时，，所以为在上唯一的最小点。（18）证明：由于在上可导，知在上连续，从而在上连续.由积分中值定理，知存在一点使得在上，由罗尔定理得至少存在一点使，即，.（19）解：由，有，在条件，即，中令得，于是满足一阶线性微分方程.通解为，由分部积分公式，可得，所以.注：也可由，满足的偏微分方程，直接得到满足的常微分方程.由，令，上式转化为常微分方程，所以，得满足的微分方程.（20）解：(Ⅰ)二次型的矩阵由是的特征值，有得到.由矩阵的特征多项式得到矩阵的特征值是，.对，解齐次方程组得基础解系，对，解齐

4、次方程组得基础解系.因为不正交，故需Schmidt正交化，有，.再单位化，得，，那么令，则在正交变换下，有(Ⅱ)条件，即.而可知在条件的极小值，即在条件下的极小值.由于，所以.而极小值点是.(Ⅲ)因为矩阵的特征值：7,7,-2.所以，那么的特征值为：-14,-14,49.从而的特征值为，，.因此，时，正定.（21）解：（1）由得。。又得。（2）的特征值为0，0，3。对应的特征向量为；对应的特征向量为，令，则有。（22）解：（1）联合分布律为VU01P{U=i}001P{V=j}1（2）从1中看出EU=，DU=，EV=，DV=EUV=P{U=1，V=1}=Cov（U，V）=-*=（23）

5、解(1)又故所以θ的矩估计量(2)似然函数.取对数所以θ的极大似然估计量为