线性代数作业习题.doc

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1、第一章：行列式1、计算下列行列式122…22222…22223…22：：：：：222…n-12222…2n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-100......0222.......0001........00002.....0000.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：

2、xyx+y

3、

4、yx+yy

5、

6、x+yyxl解：

7、xyx+y

8、

9、yx+yy

10、

11、x+yyx

12、=x

13、x+yy

14、+y(-1)

15、yy

16、+(x+y)

17、yx+y

18、 

19、yx

20、

21、x+yx

22、

23、x+yy

24、 =x

25、(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy) 3、计算下列行列式：12-51-310-620-1241-76解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。所以第一列与第二列互换，得出   2 1-5  1   1-3 0 -6  0 2-1  2   1 4-7  6根据行列式倍加不变原理

26、。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。   0-7 9-11   0-7 7-12  0 2-1  2   1 4-7  6根据行列式倍加不变原理。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列 0-7 9-11 0-7 7-12- 0 2-1  2   1 4-7  6根据计算，得出=（-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^22x----------1+X^21+X^2解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝15、设AB为n阶

27、方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及

28、A

29、+

30、B

31、=0，求

32、A+B

33、解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝1由已知,

34、A

35、^2=

36、B

37、^2=1所以

38、A

39、,

40、B

41、等于1或-1因为

42、A

43、+

44、B

45、=0所以

46、A

47、

48、B

49、=-1所以有

50、A+B

51、=-

52、A

53、

54、A+B

55、

56、B

57、=-

58、A^T

59、

60、A+B

61、

62、B^T

63、=-

64、A^TAB^T+A^TBB^T

65、=-

66、B^T+A^T

67、=-

68、(A+B)^T

69、=-

70、A+B

71、.所以

72、A+B

73、=0.第二章：矩阵1、已知矩阵   A=[111]   

74、        [2-10]           [101]         B=[311]       [212]       [123]  求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1  1×1+1×1+1×2  1×1+1×2+1×3     2×3-1×2+0×1   2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×3     1×3+0×2+1×1  1×1+0×2+1×2  1×1+0×2+1×3]= [646] [410] [434]2、设A=[223]     [1-10]     [312] A*为A的伴

75、随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=

76、A

77、EA*=

78、A

79、A^-1所以A^-1A*=

80、A

81、(A^-1)^2

82、A

83、=4AA*=

84、A

85、EA*=

86、A

87、A^-1所以A^-1A*=

88、A

89、(A^-1)^2

90、A

91、=4A^-1=      -1/2          -1/4           3/4          -1/2          -5/4           3/4           1             1            -1    (A^-1)^2=       9/8          19/

92、16        -21/16         13/8          39/16        -33/16         -2            -5/2           5/2所以A^-1A*=

93、A

94、(A^-1)^2=       9/2          19/4         -21/4          13/2          39/4         -33/4          -8           -10            103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于

95、A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[132a][2-4-1b][3-20c]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[132][2－4－1][3－20]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，