南大数值分析课件第六章 曲线拟合与函数逼近.ppt

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1、第六章曲线拟合与函数逼近/*ApproximationTheory*/仍然是已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)。但是①m很大；②yi本身是测量值，不准确，即yif(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法：使最小/*minimaxproblem*/太复杂使最小不可导，求解困难使最小/*Least-Squaresmethod*/§1最小二乘拟合多项式/*L-Sapproximatingpolynomials*/确定多项式，对于一组数据(xi,

2、yi)(i=1,2,…,n)使得达到极小，这里n<

3、gPolynomials定理L-S拟合多项式存在唯一(n

4、===--=mimiiiiibyxFyxPa1122)(])([])([)(jj证明：==---=-miiimiiiyxPyxFab1212])([])([)()(jj==---+-=miiimiiiiiyxPyxPxPxF1212])([])()()([==--+-=miiiiimiiiyxPxPxFxPxF112])()][()([2)]()([0注：L-Smethod首先要求设定P(x)的形式。若设n=m1，则可取P(x)为过m个点的m1阶插值多项式，这时=0。P(x)不一定是多项式，通常根据经

5、验确定。例用来拟合。§1L-SApproximatingPolynomials例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy+=)(求a和b使得最小。=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化/*linearization*/：令，则bXaY+就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyx例用来拟合。§1L-SAp

6、proximatingPolynomials方案二：设xbeaxPy/)(-=(a>0,b>0)线性化：由可做变换xbay-lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyxHW:p.233#7，#9,#10,#11例用来拟合。§2正交多项式与最小二乘拟合/*OrthogonalPolynomials&Least-SquaresApproximation*/已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)使得最小。已知[a,b]上定

7、义的f(x)，求一个简单易算的近似函数P(x)使得最小。定义线性无关/*linearlyindependent*/函数族{0(x),1(x),…,n(x),…}满足条件：其中任意函数的线性组合a00(x)+a11(x)+…+ann(x)=0对任意x[a,b]成立当且仅当a0=a1=…=an=0。§2OrthogonalPolynomials&L-SApproximation定义考虑一般的线性无关函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限项的线性组合称为广义多项式/*generalizedpol

8、ynomial*/.常见多项式：{j(x)=xj}对应代数多项式/*algebraicpolynomial*/{j(x)=cosjx}、{j(x)=sinjx}{j(x),j(x)}对应三角多项式/*trigonometricpolynomial