2005年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

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1、2005年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：的结果是＿＿。A、无理数　B、真分数　C、奇数　D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。A、78.5　B、97.5　C、90　D、1023、设r≥4，a＝，b＝，c＝，则下列各式一定成立的是＿＿。A、a>b>cB、b>c>a　C、c>a>b　D、c>b>a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。A、　B、　C、　D、5、已知二次函数f(x)＝ax

2、2＋bx＋c的图象如图所示，y记p＝

3、a－b＋c

4、＋

5、2a＋b

6、，q＝

7、a＋b＋c

8、＋

9、2a－b

10、，则＿＿。A、p>qB、p＝qC、p

11、、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1、a、b、c为实数，ac＜0，且，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于而小于1的根。2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。2005年全国联赛决赛试卷详解一、选择题：(每题7

12、分，共42分)1、化简：的结果是＿＿。A、无理数　B、真分数　C、奇数　D、偶数解：　所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。A、78.5　B、97.5　C、90　D、102解：由题意得：　　52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)　　∴221－140cosα＝221＋220cosα　　∴cosα＝0∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90　　∴选C3、设r≥4，a＝，b＝，c＝，则下列各式一定成立的是＿＿。A、a>b>cB、b>c>a　C、c>a>

13、b　D、c>b>a解法1：用特值法，取r=4，则有　　a=，b＝，c＝∴c>b>a，选D解法2：a＝，b＝c＝　　　解法3：∵r≥4　∴＜1　　　　∴　c＝　　　　∴a

14、a－b＋c

15、＋

16、2a＋b

17、，q＝

18、a＋b＋c

19、＋

20、2a－b

21、，

22、则＿＿。A、p>qB、p＝qC、p0，c=0∴p＝

23、a－b

24、＋

25、2a＋b

26、，q＝

27、a＋b

28、＋

29、2a－b

30、　　又　　∴p＝

31、a－b

32、＋

33、2a＋b

34、＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，q＝

35、a＋b

36、＋

37、2a－b

38、=a＋b＋b-2a=2b-a∴p

39、x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2·(-2)·4·6·(-6)所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3)2＋(2005－x4)2＋(2005－x5)2＝22＋(-2)2＋42＋62＋(-6)2＝96展开得：二

40、、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。解：(